О фундаментальном противоречии теории множеств

[PAV]

shwedka писал(а):

Даже для множества, состоящего из одного числа 37.

Не говоря уже о более сложных множествах типа $\{3,5\}$, $\{7,11\}$ или $\{5,13,23\}$.

[Metaphysic]

Бодигрим писал(а):

Цитата:

Вы понимаете, что когда устанавливается биекция между двумя бесконечными множествами, не каждое соответствие между их элементами можно выразить фразой конечной длины?

Вас не просят выписать все отображение в явном виде. Вас просят выписать результата его применения к единственному элементу, результатом которого будет единственное натуральное число. Всякое натуральное число имеет "конечную длину" и может быть выражено фразой конечной длины.

Вы хочете песен? Их есть у меня!
Драматизирую.
Рассмотрим множество {1!, 2!, 3!, ...}. Это множество, казалось бы, эквивалентно счетному множеству натуральных чисел. Однако это не так, поскольку не существует натурального числа, равного произведению всех натуральных чисел.
Если вы постулируете положение, что следует рассматривать лишь конечные произведения неповторяющихся простых чисел, то следует указать некое конечное число М, ограничивающее длину этих произведений. Чем однако это число лучше числа М + 1?

[PAV]

PAV писал(а):

Я уже не уверен, что автор сумеет выписать хотя бы для одного подмножества простых чисел соответствующее этому подмножеству число

Metaphysic писал(а):

Вы хочете песен? Их есть у меня!

Я же говорил. Вместо ответов на конкретные вопросы автор пускается в какие-то абстрактные одному ему понятные рассуждения. Похоже, что не об чем больше говорить. Конструкция автора не определена, да и не может быть определена, потому что он пытается сделать то, про что легко доказать, что это невозможно. Но убедить его в этом никому не получится. Я лично больше даже пробовать не собираюсь.

[TOTAL]

Metaphysic писал(а):

Драматизирую.
Рассмотрим множество {1!, 2!, 3!, ...}. Это множество, казалось бы, эквивалентно счетному множеству натуральных чисел. Однако это не так, поскольку не существует натурального числа, равного произведению всех натуральных чисел.

Объясните, пожалуйста, почему несуществование натурального числа, равного произведению всех натуральных чисел, не позволяет множеству {1!, 2!, 3!, ...} быть эквивалентным множеству натуральных чисел?

[Бодигрим]

Цитата:

Если вы постулируете положение, что следует рассматривать лишь конечные произведения неповторяющихся простых чисел, то следует указать некое конечное число М, ограничивающее длину этих произведений.

Нет, не следует.

Мне не хочется продолжать дискуссию до получения ответа на прямо поставленный в предыдудущем сообщении вопрос. Вы не могли бы все-таки на него ответить? Хочется увидеть сообщение без слов - только одно число.

[Metaphysic]

PAV

Цитата:

Я уже не уверен, что автор сумеет выписать хотя бы для одного подмножества простых чисел соответствующее этому подмножеству число

Или Вы меня разыгрываете, или я не могу Вас понять.
Вас устроит такой ответ: подмножеству простых чисел {3, 7} соответствует натуральное число 3*7 = 21?

[TOTAL]

Metaphysic писал(а):

PAV

Цитата:

Я уже не уверен, что автор сумеет выписать хотя бы для одного подмножества простых чисел соответствующее этому подмножеству число

Или Вы меня разыгрываете, или я не могу Вас понять.
Вас устроит такой ответ: подмножеству простых чисел {3, 7} соответствует натуральное число 3*7 = 21?

А подмножеству, состоящему из бесконечного числа простых чисел, соответствует натуральное число ______ ?

[Metaphysic]

TOTAL

Цитата:

А подмножеству, состоящему из бесконечного числа простых чисел, соответствует натуральное число ______ ?

Это натуральное число не выразимо конечным образом, так же как и натуральное число, являющееся произведением всех натуральных чисел

Добавлено спустя 1 минуту 55 секунд:

Бодигрим

Цитата:

Нет, не следует.

Нельзя ли подробнее?

[Бодигрим]

Цитата:

Это натуральное число не выразимо конечным образом

Дело в том, что всякое натуральное число выразимо конечным образом. Поэтому ваше число либо не является натуральным (а следовательно: ваше отображение - биекцией), либо вы все-таки сумеете его выписать.

Еще. Вы знаете, при каких условиях мы имеем право говорить о произведении бесконечного числа сомножителей? Или вы определяете это понятие как-то нестандартно?

[Metaphysic]

TOTAL

Объясните, пожалуйста, почему несуществование натурального числа, равного произведению всех натуральных чисел, не позволяет множеству {1!, 2!, 3!, ...} быть эквивалентным множеству натуральных чисел?

Вы не поняли иронии. Это мой ответ на утверждение, что бесконечному произведению неповторяющихся простых чисел нельзя поставить в соответствие никакого натурального числа, и, следовательно, булеан множества простых чисел не является подмножеством множества натуральных чисел.

[TOTAL]

Metaphysic писал(а):

TOTAL

Цитата:

А подмножеству, состоящему из бесконечного числа простых чисел, соответствует натуральное число ______ ?

Это натуральное число не выразимо конечным образом, так же как и натуральное число, являющееся произведением всех натуральных чисел

Другими словами, произведению бесконечного числа простых чисел Вы ставите в соответствие "натуральное число", равное этому произведению бесконечного числа простых чисел.

Я тоже так могу. Произведению нескольких нечетных чисел я могу (если Вам можно, почему мне нельзя?) сопоставить четное число, равное произвелению этих нескольких нечетных чисел.

[Коровьев]

Metaphysic писал(а):

Вы хочете песен? Их есть у меня!
Драматизирую.
Рассмотрим множество {1!, 2!, 3!, ...}. Это множество, казалось бы, эквивалентно счетному множеству натуральных чисел. Однако это не так, поскольку не существует натурального числа, равного произведению всех натуральных чисел.
Если вы постулируете положение, что следует рассматривать лишь конечные произведения неповторяющихся простых чисел, то следует указать некое конечное число М, ограничивающее длину этих произведений. Чем однако это число лучше числа М + 1?

Ну, таки я тоже решил нахмуриться. Вы имеете здесь что-то доказывать. Откуда Вы взяли этих глупостей? Для начала хочется сильно узнать, какое число соответствует счётному множеству. Это печка. После автора можно пробовать понимать.

[TOTAL]

Metaphysic писал(а):

TOTAL
Вы не поняли иронии. Это мой ответ на утверждение, что бесконечному произведению неповторяющихся простых чисел нельзя поставить в соответствие никакого натурального числа, и, следовательно, булеан множества простых чисел не является подмножеством множества натуральных чисел.

Если Вы ко всему прочему добавляете еще и иронию, то получается уж совсем плохо.
Бесконечное произведение простых чисел больше любого натурального числа.
Поэтому указанным Вами способом соответствие не устанавливается.

[Metaphysic]

TOTAL

Цитата:

Если Вы ко всему прочему добавляете еще и иронию, то получается уж совсем плохо.
Бесконечное произведение простых чисел больше любого натурального числа.
Поэтому указанным Вами способом соответствие не устанавливается.

Извините, но я не мог допустить, что Вы не понимаете простых вещей. Понятие мощности относится к множествам, бесконечным лишь потенциально. Когда же Вы говорите о произведении бесконечного числа неповторяющихся простых чисел, Вы имплицитно предполагаете существование простого числа большего всех простых чисел, т. е. рассматриваете множество простых чисел как заданное актуально.
С подмножествами множества простых чисел меньших некоторого простого числа p(n) все просто. Тоже самое можно сказать, о простых числах, меньших следующего простого числа p(n + 1), и так далее. Потенциальная бесконечность -- это всегда процесс.

[AD]

Metaphysic, не вижу циферки. А вы обещали сопоставить каждому подмножеству множества P1 натуральное число. А тут увиливаете. Не можете указанному мной множеству X число сопоставить. Потому что нет такого натурального числа, и всё. Следовательно, нет у вас никакого доказательства.

А философия ("лишь потенциально бесконечное множество", "заданное актуально множество", и т.д.) у нас в другом разделе. Ботайте ZFC - и будет вам счастье.