Сумма произведения

[kthxbye]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} m_{n}=c, m_{n}=m_{n-1}\cdot(\frac{a}{bn}-1),m_{0}=1$

$\frac{a}{b}-1=k_{1}, \frac{a}{2b}-1=k_{2}, \frac{a}{bn}-1=k_{n}$

$m_{1}=m_{0}\cdot k_{1}, m_{2}=m_{1}\cdot k_{2}=m_{0}\cdot k_{1}\cdot k_{2}, m_{n}=k_{1}\cdot k_{2}\cdot...\cdot k_{n}$

$m_{n}=\prod\limits_{d=1}^{n} (\frac{a}{bd}-1), \sum\limits_{n=1}^{\infty}\prod\limits_{d=1}^{n} (\frac{a}{bd}-1)=c$

Из полученных опытным путем данных были распознаны следующие:

1) $a=3, b=2, c=\sqrt{2}-1$
2) $a=1, b=2, c=\frac{\sqrt{2}-2}{2}$

Как можно преобразовать конечное выражение, чтобы лучше понимать и предугадывать его результат?

[DeBill]

kthxbye
Сравните свою сумму с рядом Тейлора для $(1+x)^{\alpha}$ в точке $x=1$ для $\alpha =\frac{a}{b}$