УрЧПы, фундаментальные операторы

[Echo-Off]

Здравствуйте!

Имеется вопрос о фундаментальных решениях операторов (наверное, простой).

Пусть имеется уравнение $Lu\equiv\sum\limits_{|\alpha|=0}^m a_{\alpha}(x)D^{\alpha}u=f(x)$, которое хочется решить в обобщённом смысле (в пространстве $D^*(\mathbb{R}^n)$). Если нам известно какое-либо фундаментальное решение $\mathcal{E}$, т.е. $L\mathcal{E}=\delta(x)$, то можно найти решение $Lu=f$ в виде $u=\mathcal{E}*f$.

Вопрос: всякое ли решение $Lu=f$ можно представить в виде $u=\mathcal{E}*f$, где $\mathcal{E}$ - какой-нибудь фундаментальный оператор (их же много)?

[Gafield]

Цитата:

Вопрос: всякое ли решение $Lu=f$ можно представить в виде $u=\mathcal{E}*f$, где $\mathcal{E}$ - какой-нибудь фундаментальный оператор (их же много)?

Нет. Например, для уравнения теплопроводности существуют гладкие функции $u$, не принадлежащие классам единственности (достаточно быстро растущие на бесконечности), удовлетворяющие уранению $Lu=0$. Поэтому $\mathcal E*Lu\equiv0$ для любого $\mathcal E$.

Известен также пример эллиптического оператора $L$ четвертого порядка с переменными коэффициентами и гладкой функции $u$ в $\mathbb R^3$ таких, что носитель $\mathrm{supp}\, u$ ограничен и $Lu\equiv0$.

ЗЫ А для произвольного оператора с переменными коэффициентами еще надо доказывать, что фундаментальное решение в $\mathbb R^n$ существует.

[Echo-Off]

Gafield, понятно, спасибо!