сложный интеграл с логарифмом

[GAA]

(Завершение банальностей о борьбе на быструю руку в Maple.)

При малых $B$ в случае $\int_B^{+\infty} \frac {\cos t \ln t} t dt$ поступаем аналогично случаю с $\int_B^{+\infty} \frac {\sin t \ln t} t dt$: раскладываем $\cos t $ в ряд Маклорена, для примера до $t^6$ включительно.

$$\int\limits_B^{+\infty} \frac {\cos t \ln t} t dt \approx \begin {cases} \int_B^3 \left( 1 - \frac 1 2 t^2 + \frac 1 {24} t^4 - \frac 1 {720} t^6\right) \frac {\ln t} t dt + F_{1a}(3) & B \le 3; \\ F_{1a}(B), & B > 3. \end {cases}$$

Здесь $F_{1a} (B)= -\frac {\sin B \ln B} B + \frac {\cos B (\ln B -1)}{B^2}$.
Качество аппроксимации можно оценить по приведенному ниже рисунку

Вложение:

sin_ln_x_2a.PNG

Markiyan Hirnyk, рисунки не годятся не только в качестве доказательства, но даже в качестве утверждения; и не для журнала, но и для себя лично. Для меня рисунки могут служить мотивацией для формулировки утверждений и просто для общего представления о поведении функции.

[Markiyan Hirnyk]

Приятно вести обсуждение с солидной персоной. Во-первых, Математика 11.2 находит интеграл в замкнутом виде:
$\int_B^\infty \frac{\cos t \ln t} {t},\,dt=$

$\frac{1}{24} \left(-12 i B \left(\, _3F_3(1,1,1;2,2,2;-i B)-\, _3F_3(1,1,1;2,2,2;i B)\right)-24 \text{Ci}(B) \log (B)+12 \log (B) (\log (B)+2 \gamma )+\right. $
$\left. +12 \gamma ^2-\pi ^2 \right).$

Вышеуказанная формула не эффективна, ибо интеграл выражается через гипергеометрические функции комплексного аргумента, т.е. суммы степенных рядов (а то и через аналитические продолжения этих сумм).
Ваш подход, который состоит в нахождении асимптотических выражений, приводит к несравнимо более простым формулам. Однако ваши выкладки надо поддержать оценками, ибо

J1 := int((1-(1/2)*t^2+(1/24)*t^4)*ln(t)/t, t = B .. 3);
J1 := -(1/96)*ln(B)*B^4+(1/384)*B^4+(1/4)*ln(B)*B^2-(1/8)*B^2-(1/2)*ln(B)^2-(45/32)*ln(3)+117/128+(1/2)*ln(3)^2
evalf(eval(J1, B = 0.1e-1));
                          -10.63131040
J2 := -sin(B)*ln(B)/B+cos(B)*(ln(B)-1)/B^2;
J2 := -sin(B)*ln(B)/B+cos(B)*(ln(B)-1)/B^2
evalf(eval(J2, B = 3));
                         -0.06252599460

а Математика производит

NIntegrate[Cos[t]*Log[t]/t, {t, 1/100, Infinity}]
-10.8486

Это же числовой результат получается и аналитически. Исполненные коды могу представить через Dropbox.