Векторное поле на кольце

[Nickspa]

Задано векторное поле на границе кольца (без особых точек). Доказать, что оно может быть продолжено до векторного поля на всем кольце без особых точек тогда и только тогда, когда индексы вдоль обеих граничных окружностей равны.

Индекс поля вдоль кривой - степень гауссова отображения, то есть каждый вектор на кривой сношу в центр окружности и смотрю сколько кругов будет пройдено.
Ещё знаю, что индекс векторного поля равен сумме индексов особых точек. И равен эйлеровой характеристике.

[CptPwnage]

Последнее тут кажется ни при чем, а можно так попробовать. Разрежем кольцо на концентрические окружности. Если особых точек нет, то у каждой окружности корректно определен индекс, который целое число и непрерывно зависит от окружности. Отсюда все следует.

[dsge]

Попробуйте построить гомотопию для векторных полей на обеих частях границы.

[Nickspa]

CptPwnage
Спасибо! Но это в одну сторону. А как продолжить поле в случае равных индексов?

[CptPwnage]

Nickspa

Думаю можно так. Будем считать что эти поля отнормированы на норму $1$ в каждой точке. Раз у полей на границах индексы равны, то они в частности гомотопны. Возьмем гомотопию которое переводит поле с внутренней окружности в поле на внешней. Продлим поле с внутренней окружности на все кольцо вдоль радиусов (на каждом радиусе поле одинаково). Продлим гомотопию $\varphi$ на все кольцо чтобы на внутренней окружности она была тождественным отображением, то есть гомотопия на внутренней окружности радиуса $R_0$ вида $id + \lambda (\varphi - id)$, где $0 \leq \lambda \leq 1$ соответсвует пробеганию от внутренней до внешней окружности ($\lambda = \frac{R_0 - r}{R-r}$, где $r$ и $R$ радиусы внутренней и внешней окружности).Заметим что $ v + \lambda (\varphi(v) - v) = 0$ не имеет решений, т.к. мы отнормировали все на $1$ и условие вида $v = \frac{-\lambda}{1 - \lambda} \varphi(v)$ не может выполниться, так что при такой гомотопии вектора не занулятся. Запускаем ее, поле полученной в конце и будет искомым (и нигде не $0$ по доказанному). Если они не нормированы на $1$ изначально, сначала нормируем, запускаем этот алгоритм, а потом восстанавливаем нормировку линейно продолжая ее внутрь кольца вдоль радиусов(с внутренней окружности на внешнюю).

[g______d]

Если короче, то кольцо можно естественно отождествить с $S^1\times [0,1]$, а векторное поле на кольце -- с отображением из $S^1\times [0,1]$ в $\mathbb R^2$. Если мы знаем, что два поля на окружности гомотопны в классе ненулевых векторных полей, то гомотопия между ними просто и будет нужным векторным полем на кольце.