2^n + 1 = p q^2

[maxal]

С Зигмонди доказательство такое: у элементов последовательности $x_n=2^n-1$ (для $n>6$) есть примитивные простые делители. Пусть $p_n$ - это какой-то примитивный простой делитель элемента $x_{2n}$. Из их примитивности немеделенно следует, что все $p_n$ различны и мультипликативный порядок $2$ по модулю модулю $p_n$ равен $2n$. В виду того, что порядок $2$ по модулю любого простого $p$ делит порядок по модулю $p^2$, получаем, что $p_n$ и есть бесконечная последовательность простых с требуемым свойством.

[juna]

juna писал(а):

3. если $n\equiv 1 \mod 2$, то либо $2^{n-1}-2^{n-2}+..+1=q^2$, либо $2^{n-1}-2^{n-2}+..+1=3^{2k+1}q^2p$

Невозможность случая $2^{n-1}-2^{n-2}+..+1=q^2$ видимо можно показать так: число вида $2^{n-1}-2^{n-2}+..+1$ в двоичной системе счисления - это чередование единиц и нулей плюс единица в конце, т.е. $10101010...011$. При возведении в квадрат в двоичной системе счисления такого числа не получить.