Целый результат при простых

[kthxbye]

Сегодня случайно вывел вот такую конструкцию:

$\frac{(p-k-1)!}{(p-2k)!\cdot k!}$

Если $p$ - простое, то при любом натуральном $k\leqslant\frac{p-1}{2}$ результат выражения всегда целый. Почему?

[Metford]

Простите, а $n$ - это кто?

[kthxbye]

Извиняюсь, это $p$.

На бумаге везде $n$, когда набирал - проглядел.

[iifat]

$\frac mnC_n^m=C_{n-1}^{m-1}$ То бишь, если $m,n$ просты взаимно, $C_n^m$ делится на $n$. Если нигде не напутал. Выразив исходное выражение через биноминальные коэффициенты, получим желаемое.

[kthxbye]

С инструкцией в посте выше не разобрался. Обобщил результат до:

$(p-k(m-1)-1)!\equiv0 \pmod {(p-km)!\cdot k!}$

где $p$ - простое; $k,m$ - натуральные; 0<k \leqslant\frac{p-1}{m}; m>0.

Можете хотя бы намекнуть, насколько это тривиально?

[mihiv]

$\dfrac {(p-k(m-1)-1)!}{(p-km)!k!}=\frac 1{p-k(m-1)}C^k_{p-k(m-1)}$, но, как указал iifat, $\frac mnC^m_n=C^{m-1}_{n-1}$ и, следовательно, при $m,n$ взаимно простых , $C^m_n$ делится на $n$. А так как $k$ взаимно просто с $p-k(m-1)$, то $C^k_{p-k(m-1)}$ делится на $p-k(m-1)$.