Числа в вершинах правильного десятиугольника

[Ktina]

Расположите в вершинах правильного десятиугольника числа от 1 до 10 так, чтобы для любых двух соседних чисел их сумма была равна сумме двух чисел, им противоположных (симметричных относительно центра окружности, вписанной в этот десятиугольник).

У меня получилось 1, 10, 2, 9, 3, 6, 5, 7, 4, 8.
Правильный ответ: 1, 4, 5, 8, 9, 2, 3, 6, 7, 10.

Хотелось бы узнать, сколько всего существует способов это сделать.

[Dmitriy40]

Всего 48 вариантов симметричных с точностью до поворота. И 24 если учесть зеркальность.
Интересно что около 10 не встречается 6.

[Ktina]

Dmitriy40
Как сосчитали?

[Dmitriy40]

Ktina
Начал руками выписывать какие числа допустимы около 10, выписал все тройки чисел с 10 в центре (ну и противоположные соответственно), потом надоело дописывать перебор ещё пары цифр, нашёл готовую программу генерации всех $9!$ перестановок 9-ти элементов (десятку взял за фиксированное начало, общности это не нарушает) и добавил проверку на суммы. Выхлоп программы составил 48 строк с конкретными перестановками. Снова руками убил зеркальные (конечно очевидно что их ровно половина, но захотелось и это прямо проверить). Можно было и руками довыписывать всё (думаю за пару часов справился бы), но лень, программой проще.

(Вот все 24 возможные перестановки)

10,1,4,5,8,9,2,3,6,7
10,1,4,7,6,9,2,3,8,5
10,1,6,3,8,9,2,5,4,7
10,1,6,7,4,9,2,5,8,3
10,1,7,3,9,5,6,2,8,4
10,1,7,4,8,5,6,2,9,3
10,1,8,2,9,5,6,3,7,4
10,1,8,3,6,9,2,7,4,5
10,1,8,4,7,5,6,3,9,2
10,1,8,5,4,9,2,7,6,3
10,1,9,2,8,5,6,4,7,3
10,1,9,3,7,5,6,4,8,2
10,2,6,3,9,5,7,1,8,4
10,2,6,4,8,5,7,1,9,3
10,2,8,1,9,5,7,3,6,4
10,2,9,1,8,5,7,4,6,3
10,3,2,5,8,9,4,1,6,7
10,3,2,7,6,9,4,1,8,5
10,3,6,1,8,9,4,5,2,7
10,3,6,2,9,5,8,1,7,4
10,3,7,1,9,5,8,2,6,4
10,3,8,1,6,9,4,7,2,5
10,5,2,3,8,9,6,1,4,7
10,5,4,1,8,9,6,3,2,7

[Ktina]

Dmitriy40
Большое спасибо!

(Оффтоп)

А код Вашей программы - совершенно секретная информация?

[Dmitriy40]

Нет, конечно не секретная, но моего там одна строка.

Используется синтаксис Pascal

procedure Swap(var a,b:byte); {обмен переменных}
var c:byte;
begin c:=a;a:=b;b:=c end;

type Pere=array [byte] of byte;
var     N,i:byte;
        x:Pere;
        Yes:boolean;

procedure Next(var x:Pere;var Yes:boolean);
        var i,j:byte;
begin
        i:=N-1;
        {поиск i}
        while (i>0)and(x[i]>x[i+1]) do dec(i);
        if i>0 then
        begin
        j:=i+1;
        {поиск j}
        while (j<N)and(x[j+1]>x[i]) do inc(j);
        Swap(x[i],x[j]);
        for j:=i+1 to (N+i) div 2 do Swap(x[j],x[N-j+i+1]);
        Yes:=true
        end
        else Yes:=false;
end;

begin
        N:=9;
        for i:=1 to N do x[i]:=i;
        repeat
                if (10+x[1] = x[5]+x[6]) and (x[1]+x[2] = x[6]+x[7]) and (x[2]+x[3] = x[7]+x[8]) and (x[3]+x[4] = x[8]+x[9]) and (x[4]+x[5] = x[9]+10) then begin //Вот эта строка моя, остальное честно свистнуто откуда-то с инета
                        write('10');for i:=1 to N do write(',',x[i]);writeln;
                end;
                Next(x,Yes)
        until not Yes;
end.

[ewert]

Dmitriy40 в сообщении #1262127 писал(а):

Всего 48 вариантов симметричных с точностью до поворота. И 24 если учесть зеркальность.

Это странно. Их должно быть двадцать четыре, т.е. четыре факториал, среди которых есть и все зеркально симметричные друг другу.

(В качестве подсказки предлагается попытаться решить аналогичную задачку для восьми идущих подряд чисел.)

[Dmitriy40]

Ну я же привёл все 24 варианта, зеркальные к ним будут ещё 24, легко проверить. Вроде повторов среди них нет.