2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017
Сообщение02.11.2017, 11:45 
Аватара пользователя


01/12/11
6815
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017.
За один ход разрешается выбрать два любых написанных числа и заменить на их сумму или неотрицательную разность.
После нескольких ходов все числа на доске оказались равными $n$.

Каковы возможные значения $n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017
Сообщение02.11.2017, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13259
Легко можно получить все единички $(1,3-2,5-4,...,2017-2016)$.
А вот одно число будет считаться? Например, $2035153$, то есть всеобщую сумму. Или надо, чтобы было по крайней мере два числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017
Сообщение02.11.2017, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2390
Уфа
Поскольку чётность суммы всех чисел — инвариант, чётное $n$ получить невозможно.

-- Чт ноя 02, 2017 16:28:43 --

Вроде бы, любое нечётное число в диапазоне от 1 до максимально возможного можно получить.
По крайней мере, нечётные от $2035153-2\times 2016$ до $2035153$ получаются легко: сначала одна разность 2017-2016, 2016-2015, ..., 2-1, а потом суммируем до победного конца. И меньше тоже получается, но строгое описание алгоритма пока ускользает.

-- Чт ноя 02, 2017 16:38:00 --

Это я в предположении, что одно число — законный конечный результат, причём к нему всегда можно прийти от нескольких равных чисел (их должно быть нечётное количество, одно оставляем, остальные пары обнуляем, затем всё складываем).

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017
Сообщение02.11.2017, 15:19 
Заслуженный участник


20/08/14
4548
Россия, Москва
worm2 в сообщении #1261577 писал(а):
Поскольку чётность суммы всех чисел — инвариант,
Простите, почему? Выберем первые два числа $1$ и $2$ и заменим их оба на разность $2-1=1$, получим начало последовательности в виде $1,1,3,4,5,6,...$ - чётность изменилась.
Аналогично можно заменить $2$ и $3$ на их сумму и получить $1,5,5,4,5,6,...$ - и тоже чётность изменилась.
Ведь в условии неявно (опять Карл неявно!) сказано что общее количество чисел при заменах не уменьшается.

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017
Сообщение02.11.2017, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5474
gris в сообщении #1261573 писал(а):
Легко можно получить все единички
Манипулируя этими единичками можно получать любые нечётные числа до 1008. А если вначале не всё превращать в единички, то можно продвинуться намного дальше. Вопрос в том, какое нечётное число, меньшее 2035153, получить нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017
Сообщение02.11.2017, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13259
Dmitriy40, я так понял, что надо "заменить два числа на их сумму или модуль разности", а не "заменить их каждое на сумму или модуль разности", то есть от одной операции количество чисел уменьшается? Впрочем, это может быть параллельной задачей. Можно ещё заменять одно число на сумму, а другое на модуль разности. Ещё одна задача.
А вот попробую посмотреть в начало Нашей Эры. Как бы подобную задачу решали кто-там-занимался-математикой-в те года.
$[1,2]\to\{1,3\}$
$[1,2,3]\to\{0,1,2,3,4,6\}$
$[1,2,3,4]\to\{0,1,2,4,5,6,8,10\}$
$[1,2,3,4,5]\to\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 2017
Сообщение02.11.2017, 16:01 
Заслуженный участник


20/08/14
4548
Россия, Москва
gris
Согласен, можно и разделить на три задачи. Я лишь за то чтобы яснее оговаривать какой вариант решается. Как видно не все утверждения справедливы для всех вариантов.
Ну и исходная задача всё же мне кажется про $2017$ чисел, там в условии есть слова "все числа на доске", а не "осталось число". Хотя с другой стороны тогда $n$ не ограничено сверху ... Не знаю в общем что там ТС подразумевала. Неужели так прям трудно сформулровать задачу корректно?! :evil:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group