Поток вектора электрической индукции

[Men007]

Определить поток вектора электрической индукции через боковую поверхность круглого конуса, образующая которого $L$ равна диаметру основания, если на расстоянии $\frac{L}{3}$ от вершины вдоль оси конуса находится точечный заряд $q=4 мкКл$.

Решение:
1) По теореме Гаусса:
${\Phi}_{D bok.}+{\Phi}_{D osn.}={\Phi}_{D konys.}=q$.

2)${\Phi}_{D osn.}=\frac{{S}_{osn.}}{{S}_{konys.}}\cdot {\Phi}_{D konys.}$.

3)${S}_{konys.}=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r\cdot l$, где $l=L$, $r=\frac{L}{2}$.

${S}_{konys.}=\frac{\pi\cdot L^2}{4}+\frac{\pi\cdot L^2}{2}=\frac{3\cdot \pi\cdot L^2}{4}$.
${S}_{osn.}=\frac{\pi\cdot L^2}{4}$

Следовательно, получим:
${\Phi}_{D osn.}=(\frac{\frac{\pi\cdot L^2}{4}}{\frac{3\cdot \pi\cdot L^2}{4}})\cdot q= \frac{1}{3}\cdot q$.

${\Phi}_{D bok.}={\Phi}_{D konys.}-{\Phi}_{D osn.}=q - \frac{1}{3}\cdot q=\frac{2}{3}\cdot q$.

Ответ получился верным. Однако мне сказали, что этот ответ сошелся случайно, так как соотношение для площадей и потоков вектора электрической индукции у меня написано для сферы, и оно не подходит для конуса.
В таком случае я не могу понять, как можно решить эту задачу иначе.
Возможно ли как-то по-другому найти поток вектора электрической индукции через основание конуса?

[fred1996]

Вас обманули. Гаусс работает для любых поверхностей. И ход мыслей у вас абсолютно верный. Я имею ввиду то что вы правильно решили вычислять поток через основание, а потом вычесть из общего потока через сферу.
Единственно, мне непонятны ваши выкладки. На мой взгляд они должны содержать менее простые выражения. Грубо говоря вы должны сосчитать радиус сферы, в центре которой находится заряд, а окружность основания лежит на сфере. А дальше сосчитать площадь Сферичесого сегмента, который эта окружность вырезает из сферы. И найти соотношение этой площади к площади всей сферы. Это простая геометрия, но не с такими простыми числами как у вас.

[Men007]

fred1996
Если делать через сферу (то есть через площадь сферы и площадь сегмента), то ответ уже получается совершенно другой, а именно $\frac{3}{4}q$.
И еще, когда я показал решение через сферу, мне сказали, что там линии электрической индукции идут совершенно иначе, нежели через конус, то есть через его боковую поверхность.

[fred1996]

Men007
Разницы нет, как там идут линии через поверхность, главное что идут.
И важны не линии, а потоки. А потоки пропорциональны объемным углам, через которые они идут в случае точечного заряда. Так что не суть, какие, там геометрические фигурки, главное, какие объемные углы они вырезают. И проще всего эти углы считать по площадям вырезаемых сферических сегментов.

[StaticZero]

Men007 в сообщении #1261349 писал(а):

там линии электрической индукции идут совершенно иначе, нежели через конус

Для сферы $\mathbf E \cdot \mathrm d \mathbf S = E \ \mathrm dS$, если центр сферы находится в точке, где лежит заряд. Для конуса ещё возникнет косинус угла между элементом поверхности и вектором электрического поля, поэтому всё правильно, что ответ не сойдётся.

Вообще, теорема Гаусса — она для замкнутой поверхности. Поэтому вычислить поток через какую-то часть поверхности конуса нужно будет явно. Либо через основание, что представляется мне лично более простым, либо через боковую поверхность. Во втором случае ответ получается сразу, а в первом ответ будет, очевидно, равен $\Phi_\text{конус} - \Phi_\text{основание}$. Гарантировать можно только то, что потоки через любую сферу, содержащую заряд, и через конус, внутри которого находится этот же заряд, будут равны. Поток через полную поверхность конуса $\Phi_\text{конус} = q/\varepsilon_0$ (вы, вроде, в СИ пишете, я вам следую).

[Men007]

StaticZero
Да, полностью с вами согласен.
Однако вопрос о том, как искать поток через основание конуса, так и остался мной не понят.
Можно ли как-то его найти, не используя соотношения площадей боковой поверхности и основания конуса, и не используя сложных поверхностных интегралов?

[StaticZero]

Men007 в сообщении #1261362 писал(а):

не используя сложных поверхностных интегралов?

Можно использовать поверхностный интеграл, явно не выписывая две закорючки. Но интегрировать всё-таки придётся.

[EUgeneUS]

StaticZero в сообщении #1261365 писал(а):

Можно использовать поверхностный интеграл, явно не выписывая две закорючки. Но интегрировать всё-таки придётся.

Если перейти к сфере с зарядом в центре, как предлагал fred1996, то там все поверхностные интегралы сведутся к площадям сферических сегментов. Можно, конечно, сказать, что "интегрировать всё равно пришлось".

[Men007]

EUgeneUS
Я опять начал путаться. Вроде бы уже было решено, что от конуса мы не можем перейти к сфере.

Men007 в сообщении #1261349 писал(а):

Если делать через сферу (то есть через площадь сферы и площадь сегмента), то ответ уже получается совершенно другой, а именно $\frac{3}{4}q$.

StaticZero в сообщении #1261354 писал(а):

Для конуса ещё возникнет косинус угла между элементом поверхности и вектором электрического поля, поэтому всё правильно, что ответ не сойдётся.

[StaticZero]

EUgeneUS в сообщении #1261373 писал(а):

Можно, конечно, сказать, что "интегрировать всё равно пришлось".

Площадь сферической шапки всё равно придётся искать. Ваш способ лучше именно тем, что площадь шапки — это табличное выражение, а честный интеграл по основанию конуса — это упражнение.

[EUgeneUS]

Men007 в сообщении #1261376 писал(а):

Я опять начал путаться. Вроде бы уже было решено, что от конуса мы не можем перейти к сфере.

Чей-та? Прочитайте внимательно первый пост fred1996. Поток через плоское основание конуса и поток через основание в виде сферического сегмента будут одинаковыми. Это понятно почему?
По той же самой причине, поток через "оставшуюся" часть сферы будет такой же, как и через "оставшуюся" часть конуса.

А когда у нас сфера с зарядом в центре - считать удобно, потому что все силовые линии тогда перпендикулярны поверхности, и величина поля одинаковая.

[Men007]

EUgeneUS
Это я все понимаю.
Изначально я и решал через сферу, через ее площадь и площадь сегмента; но ответ вышел неверный (плюс сказали, что так решать нельзя).
Поэтому я стал решать через площадь конуса, через площадь его боковой поверхности и основания, ответ в итоге сошелся; но мне также сказали, что так решать нельзя.
Якобы из теоремы Гаусса нужно как-то найти поток через основание конуса, и потом через этот поток вычислить поток через боковую поверхность этого конуса. но как это сделать, я не понимаю.
Оттого я и задал вопрос: как в таком случае решается эта задача?

[StaticZero]

Men007, для точечного заряда

$$ \mathrm d\Phi = \dfrac{q \ \mathrm dS \cos \alpha}{4 \pi \varepsilon_0 l^2} = \dfrac{q \ \mathrm d S_\perp}{4 \pi \varepsilon_0 l^2} = \dfrac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \ \mathrm d \Omega, $$

где $\mathrm d \Omega$ — элемент телесного угла поверхности $S$, через которую ищем поток, $\mathrm dS_\perp$ — проекция площадки $\mathrm dS$, через которую ищется поток, на "луч зрения", который исходит из заряда и упирается в площадку. Расстояние от заряда до элемента $\mathrm dS$ равно $l$. Вдоль луча зрения направлено поле. Но так как $q$ от $\Omega$ не зависит,

$$ \Phi = \dfrac{q \Omega}{4 \pi \varepsilon_0}, $$

где $\Omega$ — полный телесный угол, под которым видна поверхность $S$ из заряда. Если можно найти такую сферу, центр которой лежит в точке нахождения заряда, а граница $\partial S$ поверхности $S$, через которую ищем поток, лежала на сфере, то в таком случае телесный угол берётся по определению как отношение площади, которую высекает граница поверхности $\partial S$ на сфере, к радиусу сферы в квадрате. В данном случае такая сфера найдётся, что облегчает решение. (Если не найдётся, придётся интегрировать $\displaystyle \iint \limits_S \dfrac{\mathrm dS \cos \alpha}{l^2}$, что в общем случае безрадостно).

Впрочем, посчитать в лоб тут тоже не трудно, ответы о д и н а к о в ы.

Men007 в сообщении #1261390 писал(а):

площадь сегмента; но ответ вышел неверный (плюс сказали, что так решать нельзя)

Боковая поверхность конуса на самом деле из заряда видна под телесным углом $4 \pi - \Omega$, где $\Omega$ — телесный угол, под которым видно основание (то есть его всё равно придётся вычислить).

Сфера, описанная вокруг конуса (и которую я предположил, что вы используете, когда получаете неправильный ответ), и сфера, специальным образом выбранная для применения теоремы Гаусса, как описано выше, в данном случае р а з н ы е сферы.