2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кольцо со смещённым центром тяжести
Сообщение28.10.2017, 23:21 


20/04/10
1776
На столе расположено кольцо радиуса $R$ и массы $m$ так, что плоскость кольца перпендикулярна плоскости стола. Часть кольца - некую его дугу заменяют на такую же по длине, но выполненную из более плотного материала. Введём более удобное условие: материальную точку массы $M$ прикрепляют к кольцу, угол между радиусом, проведённым в эту точку, и вертикалью $\varphi_0$. Найти время за которое точка достигнет стола, т.е. система первый раз достигнет своего положения устойчивого равновесия.
Рассмотреть два крайних случая: 1) идеально гладкий стол; 2) реечная передача (проскальзывания нет).
Для удобства численных расчётов положим $m=M,\,\, R=1\text{м},\,\,\varphi_0=\pi/4$.
Изображение
Эта задача возникла из разбора одной несложной задачи с недавно прошедшей олимпиады в МИФИ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо со смещённым центром тяжести
Сообщение28.10.2017, 23:49 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Это олимпиадная задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо со смещённым центром тяжести
Сообщение29.10.2017, 00:12 


20/04/10
1776
После проделанных мной изменений она стала посложнее. Школьникам, конечно, её бы не предложили, а вот студентов попросить записать уравнение движения можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо со смещённым центром тяжести
Сообщение29.10.2017, 01:50 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Задачка в обоих случаях приводится к уравнениям типа колебаний физического маятника с конечной амплитудой. Решение представляет в виде эллиптических интегралов. Понятно, что во втором случае ЦТ движется по циклоиде. А в первом случае получается кажется колебание типа стандартного физического маятника.
Я бы ее наверное не назвал олимпиадной. Скорее как базовая задача для подготовки олимпиадников.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо со смещённым центром тяжести
Сообщение29.10.2017, 13:57 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Скорее, упражнение по матанализу. А вот, кстати, физика: пусть задан коэфф. трения, достаточно малый. Требуется найти тот угол, при котором ещё не будет проскальзываний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо со смещённым центром тяжести
Сообщение29.10.2017, 16:30 


20/04/10
1776
fred1996 в сообщении #1260054 писал(а):
Задачка в обоих случаях приводится к уравнениям типа колебаний физического маятника с конечной амплитудой.
Это зависит от параметров задачи. В общем случае физического маятника не получится даже для малых колебаний. Например, если $m\to 0$, то в первом случае получим, что центр тяжести находится в точке с массой $M$, она будет свободно падать по вертикали, закон изменения координаты квадратичный по времени, никак не гармонический. Второй случай в рассматриваемом пределе эквивалентен соскальзыванию точки по горке в форме циклоиды в поле тяжести. Там тоже ничего гармонического не получится.
Таким образом, динамика системы сложнее чем у физического маятника.
dovlato в сообщении #1260119 писал(а):
Скорее, упражнение по матанализу.
Если не называть интеграл эллиптическим и не пытаться вычислить в виде ряда, то анализа нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо со смещённым центром тяжести
Сообщение29.10.2017, 19:37 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
lel0lel
Общее Уравнение для энергии в первом случае выглядит так:
$-mgR\cos\theta+(\frac12\frac{m^2}{M+m}R^2\sin^2\theta+\frac12 M\frac{M+2m}{M+m}R^2)\dot{\theta}^2=-mgR\cos\theta_0$
Как видно, для малых углов можно пренебречь вкладом движения центра масс по сравнению с вращением вокруг центра масс в компоненту кинетической энергии.
Что при малых углах колебания дает:
$\theta^2+\frac{M}{m}\frac{M+2m}{M+m}\frac{R}{g}\dot{\theta}^2=\theta_0^2$
Вполне себе гармонические колебания, если правильно выбрать координату. В данном случае это угол поворота, а не положение ЦТ.
Насчет эллиптического интеграла для конечных колебаний я слегка погорячился. Но сути это не меняет. Ответ дается через конкретный интеграл.
Для колебаний без проскальзывания примерно та же картина.
Я обычно даю эти задачи олимпиадникам в виде однородного шара с шарообразной полостью. Так сказать для закрепления вычислительной техники.

-- 29.10.2017, 08:44 --

dovlato в сообщении #1260034 писал(а):
Это олимпиадная задача?

Задачка не олимпиадная, но в качестве подготовки к олимпиадам вполне сгодится.
Вообще на колебания нелегко придумать олимпиадную задачу, если иметь ввиду только вывод уравнения движения. Но есть задачи на какие-нибудь синхронные колебания, или смешанные задачи типа малых колебаний поршня в цилиндре с газом, когда надо привлекать знания из различных разделов физики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо со смещённым центром тяжести
Сообщение29.10.2017, 20:50 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
fred1996 в сообщении #1260248 писал(а):
$-mgR\cos\theta+(\frac12\frac{m^2}{M+m}R^2\sin^2\theta+\frac12 M\frac{M+2m}{M+m}R^2)\dot{\theta}^2=-mgR\cos\theta_0$
Моё уравнение совпадает с Вашим, если поменять местами $m$ и $M$. Вероятно, Вы считали, что масса материальной точки $m$, а масса диска $M$. Так, верно, естественнее, но в условиях наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо со смещённым центром тяжести
Сообщение29.10.2017, 21:10 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
svv
Ну да. Я и угол обозначил попривычнее - как отклонение от равновесия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо со смещённым центром тяжести
Сообщение29.10.2017, 21:39 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Перейду к Вашему углу $\theta$, он лучше.
Время у меня выражается такими интегралами.
1) нет трения
$\sqrt{\frac{R}{2g(k+1)}}\int\limits_{0}^{\theta_0}\sqrt{\frac{\sin^2 \theta+k(k+2)}{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta$
2) нет проскальзывания
$\sqrt{\frac{R}{g}}\int\limits_{0}^{\theta_0}\sqrt{\frac{k+1-\cos\theta}{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta$
Здесь $k=\frac m M$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо со смещённым центром тяжести
Сообщение30.10.2017, 21:20 


20/04/10
1776
fred1996, svv
ответы у Вас верные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо со смещённым центром тяжести
Сообщение30.10.2017, 22:45 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
:P Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group