2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать тождество
Сообщение28.02.2008, 21:01 
Аватара пользователя
Решая одну задачу, я столкнулся с необходимостью доказать такое тождество:
$$\frac{1}{2^l}\sum\limits_{k=1}^{l-1}\frac{(2k-1)!!(2l-2k-1)!!}{k!(l-k)!}=1-\frac{(2l-1)!!}{2^{l-1}l!}.$$
Стыдно сказать, но я без идей... :oops:
Пробовал индукцией --- не получается. Может ли кто-нибудь помочь?

 
 
 
 
Сообщение28.02.2008, 23:10 
Для таких задач уже разработаны методы решения. См., напр., Грэхем, Кнут, Поташник "Конкретная математика". Если знаешь английский, то в Petkovsek, Wilf, Zeilberger "A=B" имеются более подробные описания и общие методы с примерами подсчетов в Maple и Mathemаtica. Книжка имеется в интернете. В конце приводятся описание реализованных процедур в Mathemаtica и ссылки на них в сети. Краткая инструкция имеется на с. 124.

Первым шагом было бы умножение на $l!$ и перенос последнего слагаемого в левую часть, чтобы сумма была от $0$ до $l$, а справа стояла единица.

 
 
 
 
Сообщение28.02.2008, 23:18 
Аватара пользователя
Сравните коэффициент при $z^l$ в левой и правой части равенства
$(1-z)^{-1}=(1-z)^{-1/2}\cdot(1-z)^{-1/2}$
и получите в точности Ваше тождество.

 
 
 
 
Сообщение28.02.2008, 23:30 
Пусть выражение под суммой равно $a_k$, тогда можно подобрать коэффициенты линейной функции $f(x)$ так, что бы выполнялось $a_k =     a_{k+1}f(k+1) - a_kf(k)$ ( c точностью до постоянного множителя ).

 
 
 
 
Сообщение29.02.2008, 21:15 
Аватара пользователя
Всем большое спасибо, разобрался! :)

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group