Корень из двух и Ахиллес с черепахой

[irygaev]

Помогите разобраться, пожалуйста.

Есть такая картинка:


Конечно, вывод на ней неправильный. Но как правильно обосновать, почему он неправильный? Ведь на бесконечной итерации высота ступенек становится равной нулю и действительно получается прямая. Ответ, что бесконечная итерация никогда не наступит, мне не кажется удовлетворительным, ведь примерно то же самое происходит с Ахиллесом и черепахой, и там эта бесконечная итерация таки наступает в момент, когда Ахиллес догоняет черепаху.

В чём же принципиальная разница? Почему Ахиллес стремится к черепахе и достигает её, а лестница стремится к прямой, но никогда в неё не превращается?

[miflin]

irygaev в сообщении #1259686 писал(а):

лестница стремится к прямой

Это банальный обман зрения.
Посмотрите под микроскопом с бесконечно большим увеличением.
Вы увидите, что лестница остается лестницей.

[arseniiv]

irygaev в сообщении #1259686 писал(а):

Но как правильно обосновать, почему он неправильный?

Определение длины кривой требует, например, чтобы рассматриваемые ломаные всеми вершинами лежали на кривой. Лесенки не годятся.

[Roger]

irygaev в сообщении #1259686 писал(а):

В чём же принципиальная разница? Почему Ахиллес стремится к черепахе и достигает её, а лестница стремится к прямой, но никогда в неё не превращается?

Лестница не превращается в прямую, а Ахиллес не превращается в черепаху - нет никакой принципиальной разницы.

Ахиллес достигает черепаху, а лестница не достигает прямой, потому, что Ахиллес не идет за черепахой по превращающейся лестнице, он сразу идет по прямой.

[irygaev]

arseniiv в сообщении #1259689 писал(а):

Определение длины кривой требует, например, чтобы рассматриваемые ломаные всеми вершинами лежали на кривой. Лесенки не годятся.

Но как они могут не лежать на кривой (прямой), если это лесенки нулевой высоты?

[atlakatl]

С Ахиллесом получается сходящаяся геометрическая прогрессия.
С диагональю-лесенкой получается сумма двух пределов: длины горизонтальных и вертикальных участков.
Если эти процессы явно расписать и посчитать, то всё станет понятно.

[mihaild]

Потому что есть разные понятия предела.
Во-первых, кривая как множество точек - это что-то сложное и непонятное, давайте называть кривой непрерывную функцию $[0; 1] \to \mathbb{R}^2$. Например, диагональ квадрата будет задаваться функцией $t \to (t; t)$, а верхняя горизонтальная сторона - $t \to (t; 1)$ (заметим, что одному и тому же множеству точек соответствует много разных функций, но пока не будем с этим заморачиваться).
Длину кривой как-нибудь определим (это на самом деле нетривиально, посмотрите в учебниках).

Пусть у нас теперь есть последовательность лесенок - т.е. функций $f_n$, и еще есть диагональ квадрата - функция $g$.
Что значит, что $f_n$ стремится к $g$? Тут есть разные определения. Интуитивному "вот эти кривые приближаются к этой" соответствует либо поточечная сходимость - т.е. для любой точки $t$ выполнено $f_n(t) - g(t) \to 0$. Либо равномерная - т.е. $\sup\limits_{t \in [0; 1]} |f_n(t) - g(t)| \to 0$. К сожалению, из того, что последовательность кривых равномерно стремится к какой-то кривой еще не следует, что последовательность их длин стремится к длине предельной кривой.
(это связано с тем, что длина выражается не через саму функцию, а через ее производную - а даже у маленькой по абсолютному значению функции может быть большая производная)

[atlakatl]

irygaev в сообщении #1259693 писал(а):

если это лесенки нулевой высоты?

Пределы на то и существуют.

[Roger]

irygaev в сообщении #1259686 писал(а):

Ведь на бесконечной итерации высота ступенек становится равной нулю и действительно получается прямая.

Попробуйте построить лестницу с нулевой высотой ступенек. Мысленно поставьте ручку на лист бумаги и....
А если такую лестницу невозможно построить, то её и не существует.

[irygaev]

mihaild в сообщении #1259695 писал(а):

К сожалению, из того, что последовательность кривых равномерно стремится к какой-то кривой еще не следует, что последовательность их длин стремится к длине предельной кривой.

Ага, вот где собака зарылась! Спасибо )

-- 27.10.2017, 20:07 --

А не означает ли это, что в данном случае при стремлении лестницы к кривой происходит, так сказать, наложение точек, т.е. несколько точек исходной кривой мэпятся в одну и ту же на результирующей?

[mihaild]

irygaev в сообщении #1259702 писал(а):

А не означает ли это, что в данном случае при стремлении лестницы к кривой происходит, так сказать, наложение точек, т.е. несколько точек исходной кривой мэпятся в одну и ту же на результирующей?

Нет, это означает, что с пределами надо работать аккуратно (как минимум пока не приобретете хорошую математическую интуицию). Рекомендую посмотреть "Контрпримеры в анализе" - там есть много примеров, насколько странно на самом деле устроены вещественные числа, плоскость, насколько неинтуитивно хорошее определение длины и т.д.

[wrest]

irygaev в сообщении #1259686 писал(а):

В чём же принципиальная разница? Почему Ахиллес стремится к черепахе и достигает её, а лестница стремится к прямой, но никогда в неё не превращается?

По-моему, разница в том, что Ахиллес на каждом шаге приближается к черепахе, а длина лесенки на каждом шаге остается неизменной. Поэтому даже представив непредставимое, что можно совершить бесконечное количество шагов, длина лестницы так и останется двойкой навсегда.

[arseniiv]

irygaev в сообщении #1259693 писал(а):

Но как они могут не лежать на кривой (прямой), если это лесенки нулевой высоты?

Никаких лесенок нулевой высоты не рассматривается, рассматривается последовательность лесенок, каждая из которой ненулевой, хоть и уменьшающейся, высоты.

[wrest]

irygaev в сообщении #1259702 писал(а):

А не означает ли это, что в данном случае при стремлении лестницы к кривой происходит, так сказать, наложение точек, т.е. несколько точек исходной кривой мэпятся в одну и ту же на результирующей?

Так нельзя сказать, потому что, например "количество точек" в отрезке длины 2 и отрезке длины 1 -- одно и тоже.

[Roger]

irygaev в сообщении #1259702 писал(а):

А не означает ли это, что в данном случае при стремлении лестницы к кривой происходит, так сказать, наложение точек, т.е. несколько точек исходной кривой мэпятся в одну и ту же на результирующей?

Что на лестнице, что на кривой континуум точек. Т.е. эти множества равномощны.