Внешние формы.

[bobrov]

Добрый день! Помогите, пожалуйста, разобраться с заданиями. Я хочу понять идею, потому могу пробовать решать еще другие задачи, чтобы разобраться. Но теория с огромным скрипом идет, так, что не все определения понятны даже.

1) Найдите форму потока вектора $v(2x;5y)$

Я так понимаю, что здесь нужно делать так?

$$\begin{vmatrix} 2x& 5y \\ dx & dy \\ \end{vmatrix}=2xdy-5ydx$$

2) Найдите форму потока вектора $v(1;-y^2; z^2)$

Здесь, насколько я понимаю должен быть определитель $3\times 3$, но какой именно?

$$\begin{vmatrix} 1&-y^2&z^2 \\ dy\wedge dx & dy\wedge dy& dz \wedge dz \\ dz\wedge dx & dz\wedge dy& dz \wedge dz \\ \end{vmatrix}$$

Я очень сомневаюсь, что такой определитель. Конечно, Вы можете отослать меня читать определения формы потока, но я его вообще не понял, даже если перепишу сюда -- вряд ли поможет(

3) $\alpha=3ydx\wedge dz-yzdx \wedge dy$

$\beta =(x+y)dz-(y-z)dx$

$\vec{v}=(y,z,x)$, $\vec{xy;yz;zy}$

Найти $L_v\alpha$, $L_v\beta$, $i_v\alpha$, $i_v\beta$

$L_w(\alpha\wedge\beta)$ в точке $A(1;-1;2)$

Здесь я знаю как найти $\alpha\wedge\beta=(3ydx\wedge dz-yzdx \wedge dy)\wedge ((x+y)dz-(y-z)dx)=-yz(x+y)dx \wedge dy\wedge dz$

В точке $A$ будет так: $ \alpha\wedge\beta (A)=2(1-1)dx \wedge dy\wedge dz=0$ Верно ли это?

(Оффтоп)

Lia: Определения набраны ТС тут post1259782.html#p1259782.

[Slav-27]

bobrov в сообщении #1259265 писал(а):

Вы можете отослать меня читать определения формы потока, но я его вообще не понял, даже если перепишу сюда -- вряд ли поможет(

Возможно, это поможет отвечающим. Ну вот я, например, не знаю, что это такое.

Ваш определитель в пункте 2) равен нулю, если что.

bobrov в сообщении #1259265 писал(а):

$\alpha\wedge\beta=(3ydx\wedge dz-yzdx \wedge dy)\wedge ((x+y)dz-(y-z)dx)=-yz(x+y)dx \wedge dy\wedge dz$

Это правильно.

bobrov в сообщении #1259265 писал(а):

В точке $A$ будет так: $ \alpha\wedge\beta (A)=2(1-1)dx \wedge dy\wedge dz=0$ Верно ли это?

Это тоже. Но это от вас вроде бы не просили. Из $\omega=0$ в точке $A$ не следует, что производная Ли $L_v\omega=0$ в точке $A$. Точно так же как $f(a)=0$ не означает, что $f'(a)=0$.

[bobrov]

Slav-27 в сообщении #1259282 писал(а):

Возможно, это поможет отвечающим. Ну вот я, например, не знаю, что это такое.

Спасибо! В оффтопе первого поста картинка с определениями*

-- 26.10.2017, 17:10 --

Slav-27 в сообщении #1259282 писал(а):

Из $\omega=0$ в точке $A$ не следует, что производная Ли $L_v\omega=0$ в точке $A$.

Спасибо! А как эту производную Ли считать? Можно не на этом, а хотя бы на каком-то другом примере? Прочитал определение в википедии, но я с тензорами особо не знаком, потому ничего не понял (а может и не только поэтому), а определение есть и в той картинке к стартпосту, но я это определение не понимаю.

[Metford]

bobrov в сообщении #1259307 писал(а):

В оффтопе первого поста картинка с определениями

Определение формы потока там не наблюдается. Кстати, это хорошо, что модераторы раздела, видимо, ещё не видели эту тему: быть бы ей уже в Карантине. Это так - к сведению. Пока дело можно поправить.

bobrov в сообщении #1259307 писал(а):

я с тензорами особо не знаком, потому ничего не понял (а может и не только поэтому), а определение есть и в той картинке к стартпосту, но я это определение не понимаю.

Как Вы добрались до внешних форм, не имея представления о тензорах?
А внешний дифференциал - знакомое понятие?

[bobrov]

Metford в сообщении #1259313 писал(а):

А внешний дифференциал

Да, это знакомое понятия, это как раз я понял

-- 26.10.2017, 17:26 --

Metford в сообщении #1259313 писал(а):

Определение формы потока там не наблюдается. Кстати, это хорошо, что модераторы раздела, видимо, ещё не видели эту тему: быть бы ей уже в Карантине. Это так - к сведению. Пока дело можно поправить.

Извините, могу перепечатать на техе, только вот что именно нужно? Определение формы потока или что-то еще? Я смогу вечером зайти и сделать, сейчас нужно уходить срочно

[Metford]

bobrov в сообщении #1259315 писал(а):

могу перепечатать на техе, только вот что именно нужно? Определение формы потока или что-то еще?

Я бы начал именно с этой самой формы потока и формулы для производной Ли (кажется, это формулой Картана называется). А там, глядишь, будет о чём поговорить.

[Slav-27]

bobrov в сообщении #1259307 писал(а):

Спасибо! В оффтопе первого поста картинка с определениями

Не, определение производной Ли и свёртки вектора с формой -- это-то я знаю.

bobrov в сообщении #1259307 писал(а):

А как эту производную Ли считать?

Ну у вас там написано: она выражается через свёртку формы с векторным полем и внешний дифференциал формы. Поэтому надо научиться считать эти две операции.

$k$-форма $\omega$ в некоторой точке $p$ -- это кососимметричная линейная функция, которая берёт $k$ векторов $v_1, ..., v_k$ (приложенных к точке $p$) и возвращает число $\omega(v_1,...,v_k)$.

Пусть $v$ -- вектор (приложенный к точке $p$). В таком случае $i_v\omega$ -- это $(k-1)$-форма в точке $p$, которая берёт $k-1$ вектор $u_1, ..., u_{k-1}$ и возвращает число $\omega(v, u_1, ..., u_{k-1})$. Всё просто вроде бы...

Вообще, если определения непонятны -- тогда лучше спрашивайте прямо про то, что непонятно, до тех пор, пока всё не станет понятно. А то совершенно непонятно, а что вам, собственно, непонятно.

-- 26.10.2017, 18:36 --

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1259313 писал(а):

быть бы ей уже в Карантине

Уже оттуда

Lia в сообщении #1259415 писал(а):

Неправда.

Ой, перепутал. Извините

[bobrov]

$\Omega=dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3\wedge....\wedge dx_k$ -- форма потока вектора $\vec{v}$.

Хотя это похоже просто на $k$ форму...

[Slav-27]

bobrov в сообщении #1259355 писал(а):

$\Omega=dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3\wedge....\wedge dx_k$ -- форма потока вектора $\vec{v}$

Там $v$ нету...

[arseniiv]

bobrov
На скрине же было написано, что форма потока вектора $\mathbf v$ — это $\iota_{\mathbf v}\Omega$.

[bobrov]

arseniiv в сообщении #1259370 писал(а):

bobrov
На скрине же было написано, что форма потока вектора $\mathbf v$ — это $\iota_{\mathbf v}\Omega$.

Хорошо, спасибо. А на практике считается это форма потока через разложение лапласа?

[arseniiv]

Не считал. И вообще в теоретическом материале должно быть написано и как считать, хоть даже если и с упражнением на доказательство, что этот способ даёт что нужно.

Вот у вас есть разложения формы и вектора по базисным формам и векторам, так что можно использовать линейность $\iota$ по обоим аргументам и иметь в виду $\iota_{\vec e_i}(dx_i\wedge dx_{j_1}\wedge\ldots\wedge dx_{j_k}) = dx_{j_1}\wedge\ldots\wedge dx_{j_k}$ и $\iota_{\vec e_i}(dx_{j_1}\wedge\ldots\wedge dx_{j_k}) = 0$, где $i\notin\{j_1,\ldots,j_k\}$ (перепроверьте меня).

[Metford]

У меня складывается устойчивое впечатление, что беседа ведётся с середины, каждый говорит о своём. Результат так не будет достигнут

[arseniiv]

Ну, лично я про первые два задания пишу — вроде, получается, сначала. А вот какие ещё определения неизвестны, когда хотелось бы, чтобы были — кто его знает. Теория на скриншоте уж очень компактная. UPD. Ой, плохо смотрел в тот раз — вычисление-то $\iota$ там всё-таки прекрасно описано! Тогда не знаю, почему с ним проблемы и зачем рисовать определители.

[Lia]

Slav-27 в сообщении #1259321 писал(а):

Metford в сообщении #1259313 писал(а):

быть бы ей уже в Карантине

Уже оттуда

Неправда.
Картинки убирайте - они не объемные и не сложные в наборе. Все нужные определения, особенно те, которые у Вас спрашивали, наберите здесь.