доказательство от обратного

[Sla_sh]

Вот читаю я ваши дискуссии, вспоминаю как учился в школе, в ВУЗе и размышляю об этом хитром приеме: доказательство от обратного. Прием общепринят, с его помощью доказано множество теорем. Но вот возникает у меня такой вот хитрый вопрос.

А что если доказываемое утверждение содержит парадокс? Почему никто не учитывает такой вариант? Ведь если парадокс присутствует, то доказательство от обратного попросту абсурдно.


То есть, берем, например, парадокс Рассела.
Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента?

и доказываем его от обратного.
1. Допускам, что К содержит само себя в качестве элемента
2. Читаем определение, понимаем, что по определению К не содержит себя в качестве элемента. Следовательно получаем противоречие.
3. Поскольку при допущении 1 пришли к противоречию, 1 считаем ложным. Следовательно К не содержит само себя в качестве элемента. Утверждение доказано.

Как же так, товарищи?
Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие.[/list]

[AD]

Ну да, вы совершенно правы, по идее. Доказывая от противного, мы исходим из непротиворечивости действующей аксиоматики. То есть если мы пришли к противоречию, то либо мы сделали неверное предположение, либо сама наша аксиоматика противоречива.

Однако, доказать непротиворечивость аксиоматики нельзя в принципе. Это теорема такая из логики. Поэтому из неё все просто "исходят" в своих рассуждениях. А если аксиоматика окажется противоречивой (то есть кто-то докажет некоторое утверждение, а потом кто-то докажет его отрицание) - то математика рухнет, останется без фундамента. Так в свое время произошло из-за парадокса Рассела и родственных ему парадоксов. Но потом фундамент заделали - изобрели аксиоматику Цермело-Френкеля, в которой пока никто противоречий не нашел. И смена аксиом не оказала существенного влияния на "содержательную" математику, потому что новая аксиоматика содержала все, что нужно, и лишь запретила некоторые никому не нужные абстракции типа "множество всех множеств".

Так что вывод о противоречивости аксиоматики делается лишь тогда, когда получается противоречие без всяких дополнительных предположений.

[Sla_sh]

гм, действительно)
слишком узко смотрю)

[Попов А.В.]

Думаю доказательства от противного по своей сути можно разделить на два типа:
1. Когда утверждения A и неA, сами по себе имеют коструктивную природу.
Например мы можем определить простые числа как необратимые не являющиеся составными и при доказательстве утверждения "а - простое число" использовать метод от противного. Хотя в действительности определение простого числа не есть определение от противного - для любого целого необратимого числа мы можем после конечного числа действий сказать простое оно или составное.
2. утверждение неА имеет не конструктивную природу, а действительно опирается на положение, что третьего не дано. И вот здесь могут возникать всякие парадоксы и противоречия.

[AD]

Ну, то есть, да, здесь надо рыться во всяческой "конструктивной математике" (то есть в математике, которая остается от обычной при отмене аксиомы "А или не А, третьего не дано").