Неортогональность собственных функций неэрмитового гамильтон

[andrey1782]

Здравствуйте.

Название темы (Неортогональность собственных функций неэрмитового гамильтониана с
действительными собственными значениями) совпадает с параграфом 1.2.6 из диссертации:

"Оптика и магнитооптика лазеров на основе фотонных кристаллов и метаматериалов"
ссылка
http://www.issp.ac.ru/ebooks/disser/Zyablovskiy_A_A.pdf

Как мне кажется, несложно привести пример неэрмитового гамильтонина с ортогональноми собственными функциями имеющими действительное собственное значение:
_________________________________________________________________________________________
Действительно, пусть для начала у нас есть эрмитов гамильтониан $\widehat{H}$ c полным набором ортогональных функций $\psi_k$ c собствеными значениями $E_k$ .

Ввведём неэрмитов гамильтониан $\widehat{H}_{\alpha}=\widehat{H}-i\alpha$

Тогда $\psi^\alpha_k$=\psi_k(1+i \alpha/E_k) есть сосбвенные функции $H_{\alpha} с собствеными значениями $E_k(1+(\alpha/E_k)^2)$ .

Ортогональность $\psi^\alpha_k$ следует из ортогональности $\psi_k$ .
_____________________________________________________________________________________________
Где ошибка?

[Slav-27]

Вы надеетесь изменить собственное значение домножением собственного вектора на ненулевую константу. Не получится. Если $\hat H\psi=E\psi$, то $\hat H (c\psi)= E (c\psi)$.

[andrey1782]

Slav-27 в сообщении #1257475 писал(а):

Вы надеетесь изменить собственное значение домножением собственного вектора на ненулевую константу. Не получится. Если $\hat H\psi=E\psi$, то $\hat H (c\psi)= E (c\psi)$.

Нет , не надеюсь.

В резултьтате домножения на комлексную константу получаются собсвенные функции другого-неэрмитова Гамильтониана. Данное действие осуществляется с целью получить действительные собсвенные значения этого неэрмитова Гамильтониана.

[Red_Herring]

andrey1782 в сообщении #1257473 писал(а):

неэрмитового гамильтонина с ортогональноми собственными функциями имеющими действительное собственное значение:

Кто имеет "действительное" с.з.?

Если собственные функции оператора образуют ортогональный базис, а все соответствующие собственные значения вещественны, то оператор эрмитов.

[andrey1782]

Red_Herring в сообщении #1257477 писал(а):

andrey1782 в сообщении #1257473 писал(а):

неэрмитового гамильтонина с ортогональноми собственными функциями имеющими действительное собственное значение:

Кто имеет "действительное" с.з.?

Если собственные функции оператора образуют ортогональный базис, а все соответствующие собственные значения вещественны, то оператор эрмитов.

Знаю следующие утверждение:
Если оператор эрмитов, то спектр его собственых значений вещественен, а набор собственых векторов ортогонален.

А если оператор неэрмитов отсюда (из приведеного утверждения) ,вообще говоря, не следует заведомо ничего.


Тем не менее, как Вы правильно заметели и обратное утверждение верно.

Нашёл ошибку, действительно:

Более подробно:
$ \widehat{H}_{\alpha}\psi_k^{\alpha}= (\widehat{H}-i\alpha)(\psi_k(1+i\alpha/E_{k}))= \widehat{H}(\psi_k(1+i\alpha/E_{k})) - i\alpha(\psi_k(1+i\alpha/E_{k}))= (E_{k} (1+i\alpha/E_{k}) - i\alpha(1+i\alpha/E_{k}) )\psi_k= (E_{k} +\alpha(\alpha/E_{k}) ) \psi_k $

Спасибо разобрался.