Подсказка Ферма и ВТФ для соседних кубов (продолжение).

[Someone]

PhisicBGA в сообщении #1259348 писал(а):

Что бы не было этих "вдруг"и гаданий на кофейной гуще, и пришлось прогнать обсуждаемое выражение через жёсткие сита двух представлений закона о разложении сложных треугольных чисел и закона о сложении треугольных чисел.

И эти "сита" вместе с водой выплеснули и ребёнка. Вы же сами пишете в своих леммах 1 и 2, что треугольное число имеет много представлений в требуемом виде. А в доказательстве произвольно фиксируете параметр $n$.

[PhisicBGA]

Someone писал(а):

И эти "сита" вместе с водой выплеснули и ребёнка.

Немного не верно по форме и не понятно по сути.Не могли бы Вы пояснить по подробнее,что хотели сказать?

[Someone]

PhisicBGA в сообщении #1259682 писал(а):

Не могли бы Вы пояснить по подробнее,что хотели сказать?

Вообще-то, объяснение следовало сразу за процитированной Вами фразой. Вы его не прочитали или не понимаете?

Тогда ещё раз, подробно.
1) Равенства (7) и (8), которые Вы так длинно "доказываете" в леммах 1 и 2, являются совершенно тривиальными тождествами, что прекрасно видно при нормальной записи, не использующей ваших обозначений, которые просто затемняют суть дела. При этом, по настоящему, Вы эти равенства так и не доказали.
2) Непонятно, зачем нужно проверять два равенства: если Вы проверили одно равенство и оно выполняется (не выполняется), то другое тоже, соответственно, выполняется (не выполняется).

PhisicBGA в сообщении #1256998 писал(а):

Теперь рассмотрим выражение $ <6n>+n(6n)^2 $ с точки зрения этого закона.Оно будет равняться треугольному числу, если будет его разложением т.е. его можно будет привести к тому виду ,что указан в этих леммах.

3) С какой стати? Это просто какое-то выражение для треугольного числа $\langle 2c\rangle$. Мало ли их, этих выражений? Вот чуть выше у Вас было выражение (4). Почему там должно быть непременно $6n$? В этом случае, согласно вашим же леммам 1 и 2, число $2c$ должно делиться на $6n$ и на $6n+1$. Так как число $6n+1$ нечётное, то на него должно делиться и $\langle 2c\rangle$. Однако $\langle 2c\rangle=c(2c+1)=36n^3+18^2+3n=3n(12n^2+6n+1)$ заведомо не делится на $6n+1$.
4) Таким образом, Вы своими "ситами" отсеяли вариант "разложения", который заведомо невозможен по тривиальным причинам, но не рассмотрели те варианты, которые могли бы быть вполне возможными.

[PhisicBGA]

PhisicBGA писал(а):

Теперь обязательно перепишу своё сообщение в этих обозначениях.

Как и обещал,представляю своё сообщение переделанным и не только в плане обозначений треугольных чисел.


Здравствуйте, уважаемые участники форума!Эта тема ещё не закончена и,судя по просмотрам,по прежнему волнует читателей.Спасибо всем,кто принимал в ней участие.
Формулировка Великой теоремы самим Ферма даёт основание полагать,что все целые степени натуральных чисел -это не обычные числа с их традиционным набором свойств:чётное-нечётное,простое-сложное. Все они имеют внутреннюю структуру и потому обладают дополнительными свойствами определяемыми этой внутренней структурой.В самом начале темы решение задачи о разности соседних кубов приводит нас в другую область математики-математику арифметических прогрессий или треугольных чисел.Что бы было понятно дальнейшее я приведу начало этого доказательства.

Необходимо доказать, что разность кубов соседних целых чисел не может быть кубом целого числа,т.е. равенство

$$(y+1)^3 - y^3 = x^3 \eqno (1) $$

не может быть справедливым для любых не тривиальных целых чисел $x,y $.
Для записи $ x^3 $ воспользуемся формулой:
$x^3= (x-1)x(x+1)+x$. Тогда равенство $(1)$ примет следующий вид:

$$ 3y(y+1) + 1 = (x-1)x(x+1)+x \eqno (2) $$

.
Без ограничения общности положим $ y = 2c $, где $c $-любое целое число,
$ x = 2a +1 $, где $ a = 3n $, где $ n $-любое целое число.
Тогда наше равенство примет следующий вид

$$ 6c(2c+1)+1 = 6n(6n +1)(6n+2)+ 6n+1 $$

или

$$ (2c+1)^3-(2c)^3=6 \langle 2c \rangle+1=(6n+1)^3 \eqno (3) $$

,где$\langle 2c \rangle=2c(2c+1)/2=1+2+3+....+ 2c $-арифметическая прогрессия или треугольное число.Такой вид должен иметь куб ,которому была бы равна разность соседних кубов.
Сократив подобные члены и разделив обе части на 6, получим

$$ \langle2c\rangle = 2n \langle6n+1\rangle + n \eqno (4) $$

Таким образом , задача о соседних кубах сводится к выявлению справедливости равенства между треугольными числами и,очевидно,чтобы двигаться дальше , необходимо использовать математику числовых прогрессий или треугольных чисел.А она отличается от математики обычных чисел.Известно,что закон сложения треугольных чисел отличается от
закона сложения обычных чисел:$ \langle x \rangle+ \langle y \rangle=\langle x+y \rangle-xy $
В прошлый раз нам не удалось доказать,что равенство (4) является несправедливым.Потребовалось проанализировать этот случай разложения кубов с помощью их внутренней структуры.Оказалось,что мы пытались доказать следствие,а не причину.Поясню.Если справедливо равенство (3),то следовательно должно быть справедливо равенство (4).А когда,при каких условиях будет справедливо равенство (3)? Анализ разложения кубов показал,что это разложение возможно лишь в следующем случае:

$$6\langle 2c \rangle+1=(6n+1)^3=(6n)^3+6\langle 6n \rangle+1 $$

.

$$ 6( \langle 2c \rangle- \langle 6n \rangle )=(6n)^3 =6n(6n)^2 $$

.

$$ \langle 2c \rangle- \langle 6n \rangle= n(6n)^2 \eqno(5) $$

.
т.е. в случае выполнения равенства (5) для разности двух треугольных чисел.Таким образом,эти не хитрые математические выкладки показывают ,что выполнение равенства (5)является основным условием равенства кубу разности кубов соседних целых чисел т.е. выполнения равенства (3)
Из равенства (5) следует:

$$ \langle 2c \rangle= \langle 6n \rangle+ n(6n)^2 \eqno(6) $$

Это значит,что для выполнения равенства (5)необходимо что бы выражение $ \langle 6n \rangle+n(6n)^2 $было треугольным числом.Покажем,что это выражение не является треугольным числом ни при каких не тривиальных целых $ n $.
Для этого докажем несколько лемм.

Лемма 1:"Любая арифметическая прогрессия составного натурального числа $ \langle x \rangle= \langle a*b*c...d \rangle $,где $ a,b,c...d $-простые множители этого числа, раскладывается по любому из своих множителей,как простому,так и сложному,по следующей формуле:

$$ \langle x \rangle= \langle a*b*c...d \rangle=n \langle m \rangle+ \langle n-1 \rangle m^2 \eqno(7) $$

,где
$n $-любой,как простой,так и сложный множитель числа$x $ (назовём его-множитель разложения),а $m $-все оставшиеся его множители(назовём его - остатком разложения)"
Доказательство.
Согласно закону сложения арифметических прогрессий $ \langle x \rangle+ \langle y \rangle=\langle x+y \rangle-xy $.Отсюда $ \langle x+y \rangle = \langle x \rangle+ \langle y \rangle +xy $.
Положим в этом равенстве:
1.$ x=y$. Получим $ \langle 2y \rangle=2 \langle y \rangle+y^2 $ ;
2.$ x=2y$. Получим $ \langle 3y \rangle= \langle 2y \rangle+ \langle y \rangle+2y^2 = 3\langle y \rangle+3y^2=3 \langle y \rangle+ \langle 3-1 \rangle y^2$ ;
3.$ x=3y$. Получим $ \langle 4y \rangle= \langle 3y \rangle+ \langle y \rangle+3y^2 = 4 \langle y \rangle+6y^2 =4 \langle y \rangle+ \langle 4-1 \rangle y^2 $ ;
_______________ / ___________________ / __________________________ / _____________________

n-1.`$ x=(n-1)y$. Получим

$$ \langle n*y \rangle=n \langle y \rangle+ \langle n-1 \rangle y^2 $$

Приняв за $ n $ любой из целых множителей составного натурального числа $ x= a*b*c*...d $,а за $ y $ -все оставшиеся его множители $ m $
мы можем разложить арифметическую прогрессию этого числа по этому множителю согласно формуле (7).
Таким образом, лемма 1 доказана.

Лемма 2:" Разложение арифметической прогрессии составного натурального числа $ \langle x \rangle= \langle a*b*c...d \rangle $,где $ a,b,c...d $-простые множители этого числа, , по любому из его множителей $ n $ с остатком разложения $ m $ по формуле $ \langle n*y \rangle=n \langle m \rangle+ \langle n-1 \rangle m^2 $ может быть приведено к следующему виду

$$ \langle n*y \rangle=n \langle m \rangle+ \langle n-1 \rangle m^2 =n^2 \langle m \rangle- \langle n-1 \rangle m \eqno (8) $$

"

Доказательство.
Разложим арифметическую прогрессию составного натурального числа $ \langle x \rangle= \langle a*b*c...d \rangle $,где $ a,b,c...d $-простые множители этого числа, , по любому из его множителей $ n $ с остатком разложения $ m $ по формуле $ \langle n*y \rangle=n \langle m \rangle+ \langle n-1 \rangle m^2 $ Как известно $m^2 = \langle m-1 \rangle+ \langle m \rangle= 2 \langle m \rangle- m $.Подставим в наше разложение и получим:

$$ \langle n*m \rangle=n \langle m \rangle+ \langle n-1 \rangle(2 \langle m \rangle - m)=n \langle m \rangle+2 \langle n-1 \rangle * \langle m \rangle - \langle n-1 \rangle m $$

или

$$ \langle n*m \rangle= \langle m \rangle (n+2 \langle n-1 \rangle)- \langle n-1 \rangle m=n^2 \langle m \rangle-\langle n-1 \rangle m $$

Что и требовалось доказать.

Someone писал(а):

1) Равенства (7) и (8), которые Вы так длинно "доказываете" в леммах 1 и 2, являются совершенно тривиальными тождествами

Что бы доказать этот важный случай ВТФ элементарными методами, необходимо обратиться к треугольным числам из которых на 99% и состоят кубы.

С помощью этих лемм мы сформулировали закон разложения составного треугольного числа по любому из его множителей.Кстати,это ещё одно отличие математики треугольных чисел от математики обычных чисел.Теперь рассмотрим выражение $ \langle 6n \rangle +n(6n)^2 $ с точки зрения этого закона.Оно будет равняться треугольному числу, если будет его разложением т.е. его можно будет привести к тому виду ,что указан в этих леммах.

Someone писал(а):

С какой стати? Это просто какое-то выражение для треугольного числа $\langle 2c\rangle$. Мало ли их, этих выражений?

Вот здесь Вы правы.Моя ошибка.Признаю. .Так что Ваше оппонирование приносит ощутимую пользу.Спасибо.
Ну что же,поступим проще и эффективнее.Это можно сделать,если не видеть в законах треугольных чисел только "тривиальные тождества" и точно знать, на что эти числа способны.
Из рассматриваемого выражения следует(как Вы справедливо написали):

$$\langle 2c\rangle= \langle 6n \rangle +n(6n)^2 =36n^3+18^2+3n=3n(12n^2+6n+1)$$

. Но его можно преобразовать дальше и получить интересное
равенство

$$\langle 2c\rangle=3n(12n^2+6n+1)=\frac 12 6n[6n(2n+1)+1]= \frac 1 {2n+1}\cdot\frac 12 6n(2n+1)[6n(2n+1)+1] $$

И окончательно получаем

$$ \langle 2c\rangle= \frac 1 {2n+1}\cdot \langle 6n(2n+1) \rangle \eqno (9)$$

.Вот теперь рассмотрим справедливость равенства (9) с точки зрения закона разложения составного треугольного числа по его множителям,сформулированного нами в леммах.
Умножим обе части этого равенства на $ 2n+1 $:

$$ (2n+1) \langle 2c\rangle= \langle 6n(2n+1) \rangle $$

Проведем разложение треугольного числа $ \langle 2c\rangle $ по множителю $ 2 $ согласно лемме 2:

$$ (2n+1)[2^2 \langle c\rangle-c]= \langle 6n(2n+1) \rangle $$

Теперь умножим члены разложения на $ 2n+1 $:

$$ (2n+1) 2^2 \langle c\rangle - (2n+1)c = \langle 6n(2n+1) \rangle $$

Полученное выражение в левой части равенства будет разложением треугольного числа ,согласно лемме 2,только в следующем случае:

$$ 2n+1=m^2 $$

;

$$ 2n+1=\langle m-1 \rangle $$

Отсюда $ m=1; n=0 $
Теперь проведем разложение треугольного числа $ \langle 2c\rangle $ по любому из множителей составного целого числа $ 2c=a \cdot b \cdot c....d $,где $ a \cdot b \cdot c....d $-целые числа,так же по лемме 2 .Пусть это будут $ b \cdot c = k $.Остаток разложения обозначим $ l $ . Тогда получим

$$ (2n+1)[k^2 \langle l \rangle -\langle k-1 \rangle l ]= \langle 6n(2n+1) \rangle $$

Или

$$ (2n+1) k^2 \langle l \rangle - (2n+1)\langle k-1 \rangle l = \langle 6n(2n+1) \rangle $$

Полученное выражение в левой части равенства будет разложением треугольного числа ,согласно лемме 2,только в следующем случае:

$$ 2n+1=m^2 $$

;

$$ (2n+1)\langle k-1 \rangle =\langle m-1 \rangle $$

Отсюда получаем $ 0 = (2n+1)[\langle k-1 \rangle - 1]+\langle m \rangle $
что возможно когда $ k=2 ; m=0; n=0 $
Это значит,что равенство (9),а следовательно и равенство (6),являются справедливыми только при нулевом значении параметра $ n $,где $ n $-любое целое число.
Следовательно,и равенство (3),для выполнения которого,требуется выполнение этих равенств не будет справедливым при любых не тривиальных (т.е. отличных от 0) значений целого числа $ n $.
Что и требовалось доказать.

[Someone]

Во-первых, опять используете "звёздочки" как знак умножения, что для математика выглядит дикостью. Если уж Вам позарез нужны знаки умножения, можно взять \cdot ($\cdot$) или \times ($\times$). Лучше первое. А многоточие — \ldots ($a\ldots b$).

Во-вторых, Вы опять берёте какие-то выражения и пытаетесь их представить как "разложение" в смысле одной из своих лемм. Ну скажите, с какой стати выражение в левой части равенства

PhisicBGA в сообщении #1260664 писал(а):

$$ (2n+1) 2^2 \langle c\rangle - (2n+1)c = \langle 6n(2n+1) \rangle,$$

полученное умножением разложения некоторого треугольного числа на первый попавшийся множитель, именно в таком виде должно быть тоже разложением некоторого (другого) треугольного числа? Разве Вы доказали теорему, что ежели взять разложение треугольного числа и умножить его на любое натуральное число, выбранное так, что произведение является треугольным числом, то получится опять разложение треугольного числа? Нет, не доказали.

Между тем, мы можем написать, например,

$$(2n+1)\langle 2c\rangle=(4n+2)\langle 3n\rangle+\langle 4n+1\rangle\cdot (3n)^2,$$

поскольку в доказательстве "от противного" Вы предполагаете равенство

PhisicBGA в сообщении #1260664 писал(а):

$$ (2n+1) \langle 2c\rangle= \langle 6n(2n+1) \rangle$$

верным.

В-третьих, я же Вам сказал, что при стандартной записи Ваши "разложения" являются тривиальными тождествами, и доказываются они в одну строчку. И не надо вместо этих коротких и очевидных доказательств писать длинные рассуждения, сводящиеся к рассмотрению ряда примеров и потому доказательствами вовсе не являющиеся. Поскольку рассмотрение примеров доказательством общего утверждения никогда не является (но может быть опровержением).

В-четвёртых, я не понял, зачем Вы при переходе от (1) к (2) заменяете $x^3$ неким сложным выражением, а потом тут же от этого выражения возвращаетесь опять к $x^3=(6n+1)^3$.

[PhisicBGA]

PhisicBGA писал(а):

Теперь обязательно перепишу своё сообщение в этих обозначениях.

Как и обещал,представляю своё сообщение переделанным и не только в плане обозначений треугольных чисел.


Здравствуйте, уважаемые участники форума!Эта тема ещё не закончена и,судя по просмотрам,по прежнему волнует читателей.Спасибо всем,кто принимал в ней участие.
Формулировка Великой теоремы самим Ферма даёт основание полагать,что все целые степени натуральных чисел -это не обычные числа с их традиционным набором свойств:чётное-нечётное,простое-сложное. Все они имеют внутреннюю структуру и потому обладают дополнительными свойствами определяемыми этой внутренней структурой.В самом начале темы решение задачи о разности соседних кубов приводит нас в другую область математики-математику арифметических прогрессий или треугольных чисел.Что бы было понятно дальнейшее я приведу начало этого доказательства.

Необходимо доказать, что разность кубов соседних целых чисел не может быть кубом целого числа,т.е. равенство

$$(y+1)^3 - y^3 = x^3 \eqno (1) $$

не может быть справедливым для любых не тривиальных целых чисел $x,y $.
Для записи $ x^3 $ воспользуемся формулой:
$x^3= (x-1)x(x+1)+x$. Тогда равенство $(1)$ примет следующий вид:

$$ 3y(y+1) + 1 = (x-1)x(x+1)+x \eqno (2) $$

.
Без ограничения общности положим $ y = 2c $, где $c $-любое целое число,
$ x = 2a +1 $, где $ a = 3n $, где $ n $-любое целое число.
Тогда наше равенство примет следующий вид

$$ 6c(2c+1)+1 = 6n(6n +1)(6n+2)+ 6n+1 $$

или

$$ (2c+1)^3-(2c)^3=6 \langle 2c \rangle+1=(6n+1)^3 \eqno (3) $$

,где$\langle 2c \rangle=2c(2c+1)/2=1+2+3+....+ 2c $-арифметическая прогрессия или треугольное число.Такой вид должен иметь куб ,которому была бы равна разность соседних кубов.
Сократив подобные члены и разделив обе части на 6, получим

$$ \langle2c\rangle = 2n \langle6n+1\rangle + n \eqno (4) $$

Таким образом , задача о соседних кубах сводится к выявлению справедливости равенства между треугольными числами и,очевидно,чтобы двигаться дальше , необходимо использовать математику числовых прогрессий или треугольных чисел.А она отличается от математики обычных чисел.Известно,что закон сложения треугольных чисел отличается от
закона сложения обычных чисел:$ \langle x \rangle+ \langle y \rangle=\langle x+y \rangle-xy $
В прошлый раз нам не удалось доказать,что равенство (4) является несправедливым.Потребовалось проанализировать этот случай разложения кубов с помощью их внутренней структуры.Оказалось,что мы пытались доказать следствие,а не причину.Поясню.Если справедливо равенство (3),то следовательно должно быть справедливо равенство (4).А когда,при каких условиях будет справедливо равенство (3)? Анализ разложения кубов показал,что это разложение возможно лишь в следующем случае:

$$6\langle 2c \rangle+1=(6n+1)^3=(6n)^3+6\langle 6n \rangle+1 $$

.

$$ 6( \langle 2c \rangle- \langle 6n \rangle )=(6n)^3 =6n(6n)^2 $$

.

$$ \langle 2c \rangle- \langle 6n \rangle= n(6n)^2 \eqno(5) $$

.
т.е. в случае выполнения равенства (5) для разности двух треугольных чисел.Таким образом,эти не хитрые математические выкладки показывают ,что выполнение равенства (5)является основным условием равенства кубу разности кубов соседних целых чисел т.е. выполнения равенства (3)
Из равенства (5) следует:

$$ \langle 2c \rangle= \langle 6n \rangle+ n(6n)^2 \eqno(6) $$

Это значит,что для выполнения равенства (5)необходимо что бы выражение $ \langle 6n \rangle+n(6n)^2 $было треугольным числом.Покажем,что это выражение не является треугольным числом ни при каких целых $ n $.
Для этого докажем несколько лемм.

Лемма 1:"Любая арифметическая прогрессия составного натурального числа $ \langle x \rangle= \langle a\cdot b\cdot c \cdot ... \cdot d \rangle $,где $ (a\ldots d)$)-простые множители этого числа, раскладывается по любому из множителей этого числа ,как простому,так и сложному,по следующей формуле:

$$ \langle x \rangle= \langle a\cdot b\cdot c\cdot ... \cdot d \rangle=n \langle m \rangle+ \langle n-1 \rangle m^2 \eqno(7) $$

,где
$n $-любой,как простой,так и сложный множитель числа$x $ (назовём его-множитель разложения),а $m $-все оставшиеся его множители(назовём его - остатком разложения)"
Доказательство.
Согласно закону сложения арифметических прогрессий $ \langle x \rangle+ \langle y \rangle=\langle x+y \rangle-xy $.Отсюда $ \langle x+y \rangle = \langle x \rangle+ \langle y \rangle +xy $.
Положим в этом равенстве:
1.$ x=y$. Получим $ \langle 2y \rangle=2 \langle y \rangle+y^2 $ ;
2.$ x=2y$. Получим $ \langle 3y \rangle= \langle 2y \rangle+ \langle y \rangle+2y^2 = 3\langle y \rangle+3y^2=3 \langle y \rangle+ \langle 3-1 \rangle y^2$ ;
3.$ x=3y$. Получим $ \langle 4y \rangle= \langle 3y \rangle+ \langle y \rangle+3y^2 = 4 \langle y \rangle+6y^2 =4 \langle y \rangle+ \langle 4-1 \rangle y^2 $ ;
_______________ / ___________________ / __________________________ / _____________________

n-1.`$ x=(n-1)y$. Получим

$$ \langle n\cdot y \rangle=n \langle y \rangle+ \langle n-1 \rangle y^2 $$

Приняв за $ n $ любой из целых множителей составного натурального числа $ x= a\cdot b\cdot c\cdot...\cdot d $,а за $ y $ -все оставшиеся его множители $ m $
мы можем разложить арифметическую прогрессию этого числа по этому множителю согласно формуле (7).
Таким образом, лемма 1 доказана.

Лемма 2:" Разложение арифметической прогрессии составного натурального числа $ \langle x \rangle= \langle a\cdot b\cdot c \cdot ... \cdot d \rangle $,где $ (a\ldots d)$)-простые множители этого числа,, по любому из множителей этого числа-$ n $, с остатком разложения -$ m $, по формуле $ \langle n\cdot y \rangle=n \langle m \rangle+ \langle n-1 \rangle m^2 $ может быть приведено к следующему виду

$$ \langle n\cdot y \rangle=n \langle m \rangle+ \langle n-1 \rangle m^2 =n^2 \langle m \rangle- \langle n-1 \rangle m \eqno (8) $$

"

Доказательство.
Разложим арифметическую прогрессию составного натурального числа $ \langle x \rangle= \langle a\cdot b\cdot c \cdot ... \cdot d \rangle $,где $ (a\ldots d)$)-простые множители этого числа,, , по любому из его множителей -$ n $, с остатком разложения -$ m $, по формуле $ \langle n\cdot y \rangle=n \langle m \rangle+ \langle n-1 \rangle m^2 $ Как известно $m^2 = \langle m-1 \rangle+ \langle m \rangle= 2 \langle m \rangle- m $.Подставим в наше разложение и получим:

$$ \langle n \cdot m \rangle=n \langle m \rangle+ \langle n-1 \rangle(2 \langle m \rangle - m)=n \langle m \rangle+2 \langle n-1 \rangle \cdot \langle m \rangle - \langle n-1 \rangle m $$

или

$$ \langle n\cdot m \rangle= \langle m \rangle (n+2 \langle n-1 \rangle)- \langle n-1 \rangle m=n^2 \langle m \rangle-\langle n-1 \rangle m $$

Что и требовалось доказать.

Someone писал(а):

при стандартной записи Ваши "разложения" являются тривиальными тождествами, и доказываются они в одну строчку. И не надо вместо этих коротких и очевидных доказательств писать длинные рассуждения, сводящиеся к рассмотрению ряда примеров и потому доказательствами вовсе не являющиеся.

Ваша категоричность удивляет.Это доказательство важно для дальнейшего,поскольку показывает,что закон разложения арифметической прогрессии целого числа по его множителям является производным от основного закона - закона сложения арифметических прогрессии,его частным случаем,а не "взят с потолка",как в Вашем случае с "элементарными тождествами".Отсюда - то ,что Вы называете "рассмотрением ряда примеров",что на самом деле является рассмотрением динамики возникновения этого частного случая с получением общей формулы.




С помощью этих лемм мы сформулировали закон разложения арифметической прогрессии целого числа по любому из его множителей.Кстати,это ещё одно отличие математики треугольных чисел от математики обычных чисел.Теперь рассмотрим выражение $ \langle 6n \rangle +n(6n)^2 $ с точки зрения этого закона.
Из рассматриваемого выражения следует(как Вы справедливо написали):

$$\langle 2c\rangle= \langle 6n \rangle +n(6n)^2 =36n^3+18^2+3n=3n(12n^2+6n+1)$$

. Но его можно преобразовать дальше и получить интересное
равенство

$$\langle 2c\rangle=3n(12n^2+6n+1)=\frac 12 6n[6n(2n+1)+1]= \frac 1 {2n+1}\cdot\frac 12 6n(2n+1)[6n(2n+1)+1] $$

И окончательно получаем

$$ \langle 2c\rangle= \frac 1 {2n+1}\cdot \langle 6n(2n+1) \rangle \eqno (9)$$

.Вот теперь рассмотрим справедливость равенства (9) с точки зрения закона разложения арифметической прогрессии целого числа по любому из его множителей.,сформулированного нами в леммах.
Умножим обе части этого равенства на $ 2n+1 $:

$$ (2n+1) \langle 2c\rangle= \langle 6n(2n+1) \rangle = \langle 2\cdot 3n(2n+1) \rangle $$

У чисел арифметических прогрессий,стоящих в этом равенстве есть один известный нам общий множитель - 2.Мы можем каждую из этих прогрессий ,согласно леммам,либо разложить по этому общему множителю,либо - взять его в качестве
остатка разложения.Выберем- второе:

$$ (2n+1)[c^2 \langle 2\rangle - \langle c-1 \rangle 2] = 3n^2\cdot (2n+1)^2\cdot \langle 2 \rangle - \langle 3n(2n+1)-1\rangle \cdot 2 $$

Или

$$ (2n+1)\cdot c^2 \cdot \langle 2\rangle - (2n+1) \cdot \langle c-1 \rangle \cdot 2 = 3n^2\cdot (2n+1)^2 \cdot \langle 2 \rangle - \langle 3n(2n+1)-1\rangle \cdot 2 $$

Теперь подберём значения переменных $(c , n) $ так,что бы коэффициенты при одинаковых членах этих выражений $ (\langle 2\rangle ; 2) $ в обеих частях равенства (9) были равны.Это можно сделать из системы равенств

$$ (2n+1)\cdot c^2= 3n^2 \cdot (2n+1)^2 $$

$$ (2n+1)\cdot \langle c-1 \rangle = \langle 3n(2n+1)-1\rangle \eqno (10)$$

Подставив эти значения переменных в равенство (9) мы получим в обеих частях этого равенства одинаковые значения стоящих там выражений т.е. равенство (9) будет справедливо.
Прежде,чем продолжить,хотелось бы знать мнение участников форума : эти рассуждения верны по сути или нет?

[Someone]

PhisicBGA в сообщении #1261677 писал(а):

Ваша категоричность удивляет.Это доказательство важно для дальнейшего,поскольку показывает,что закон разложения арифметической прогрессии целого числа по его множителям является производным от основного закона - закона сложения арифметических прогрессии,его частным случаем,а не "взят с потолка",как в Вашем случае с "элементарными тождествами".Отсюда - то ,что Вы называете "рассмотрением ряда примеров",что на самом деле является рассмотрением динамики возникновения этого частного случая с получением общей формулы.

Ещё раз: ваше рассуждение с перечислением примеров — не доказательство. Нельзя доказать общее утверждение, просто перечислив несколько примеров.

[PhisicBGA]

Прощу прощения за ошибки в нумерации.Спешу их исправить:конец последнего сообщения должен быть таким:

$$ (2n+1)\cdot c^2 \cdot \langle 2\rangle - (2n+1) \cdot \langle c-1 \rangle \cdot 2 = 3n^2\cdot (2n+1)^2 \cdot \langle 2 \rangle - \langle 3n(2n+1)-1\rangle \cdot 2 \eqno (10)$$

Теперь подберём значения переменных $(c , n) $ так,что бы коэффициенты при одинаковых членах этих выражений $ (\langle 2\rangle ; 2) $ в обеих частях равенства (10) были равны.Это можно сделать из системы равенств

$$ (2n+1)\cdot c^2= 3n^2 \cdot (2n+1)^2 $$

$$ (2n+1)\cdot \langle c-1 \rangle = \langle 3n(2n+1)-1\rangle \eqno (11)$$

Подставив эти значения переменных в равенство (10) мы получим в обеих частях этого равенства одинаковые значения стоящих там выражений т.е. равенство (10) будет справедливо.А следовательно,будет справедливо и равенство (9) из которого равенство(10)было получено.Прежде,чем продолжить,хотелось бы знать мнение участников форума : эти рассуждения верны по сути или нет?

[shwedka]

PhisicBGA в сообщении #1261695 писал(а):

Прежде,чем продолжить,хотелось бы знать мнение участников форума : эти рассуждения верны по сути или нет?

По сути рассуждения неверны!

Цитата:

Теперь подберём значения переменных $(c , n) $ так,что бы коэффициенты при одинаковых членах этих выражений $ (\langle 2\rangle ; 2) $ в обеих частях равенства (10) были равны.

ну, подобрали. Теперь остается рассмотреть случай, когда эти 'коэффициенты' НЕ равны, но, тем не менее, равенство (10) все равно выполнено -- или доказать, что такого быть не может.

Надо сказать, после многих лет (даже десятилетий) общения с ферматиками, могу отметить, что такое 'рассуждение' относится к наиболее распространенным ошибкам ферматиков.
Они из
$a-b=c-d$
делают вывод
$a=c, b=d$
или
из
$ab=cd$
делают вывод
$a=c, b=d$

-- Чт ноя 02, 2017 23:13:16 --

Цитата:

равенство (10) будет справедливо.А следовательно,будет справедливо и равенство (9) из которого равенство(10)было получено.

А здесь очень грубая логическая ошибка.

Представьте себе, что
(9) это 5=7
и, умножив на 0,
получим правильное равенство
(10) 0=0.

Абидно, да!

[PhisicBGA]

shwedka писал(а):

Надо сказать, после многих лет (даже десятилетий) общения с ферматиками, могу отметить, что такое 'рассуждение' относится к наиболее распространенным ошибкам ферматиков.......А здесь очень грубая логическая ошибка.

Ну,зачем же так пугать авторитетом и грозным оформлением бедных ферматиков. Авось ещё пригодятся.А если серьёзно-спасибо Вам за ответ.

shwedka писал(а):

Абидно, да!

Ни чуть!Математика тем и хороша,что в ней часто появляются ,казалось бы,парадоксальные соотношения,возникают совершенно неожиданные связи.Вот мы доказываем,и не можем ни как доказать,что единичное приращение куба-$6(2c)+1$ не может быть кубом.А может быть кубом его двойное приращение, т.е. - $6(2c+1)^2+2 = (2x)^3$ ?