Исследование отображения на мономорфизм

[NeRRR]

Доброго дня!
Подскажите, пожалуйста, где можно почитать и посмотреть пример решения задач вот такого типа:

Исследовать отображение $f:R^2\rightarrow L(2)$; $f((x;y))=\left( \begin{array}{cc} x & -y \\ y & x \end{array} \right)$ на мономорфизм, эпиморфизм, изоморфизм. Найти ядро и образ отображения.

Насколько я знаю помню, ядро - это прообраз нулевого элемента.
То есть $\ker(f)=(0;0)$.
Так?
А образ? Это просто множество матриц вида $\left(\begin{array}{cc} x & -y \\ y & x \end{array}\right)$?

Ничего не понятно

[SomePupil]

NeRRR в сообщении #1256294 писал(а):

Так?

Так.

NeRRR в сообщении #1256294 писал(а):

А образ? Это просто множество матриц специального (мое прим.) вида?

Да.

NeRRR в сообщении #1256294 писал(а):

Ничего не понятно

Мономорфизм, он же инъективность, переводит разные вещи в разные. То есть, не может быть такого, чтобы при мономорфизме два разных элемента отобразились в одно и то же.

У Вас там пары чисел переводятся в матрицы (ну, или операторы при выделенном базисе $-$ как Вам угодно). Соответственно, вопрос состоит в том, могут ли две разные пары перевестись в одну и ту же матрицу. Надеюсь, я Вас не слишком запутал?


Теперь про эпиморфизм. Вам надо выяснить совпадает ли образ (который Вы, кстати, нашли) с множеством $L(2)$? Если совпадет, то $f$ будет эпиморфизмом, а нет $-$ нет.

В общем случае, отображение $g: A \to B$ называется эпиморфизмом (или сюръекцией), если $g(A) = B.$.

-- 17.10.2017, 15:55 --

NeRRR в сообщении #1256294 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, где можно почитать и посмотреть пример решения задач вот такого типа:

Винберг - "Курс алгебры". Главы 2, 5, 6.

-- 17.10.2017, 16:00 --

Я тут подумал: за такие определения адепты теорката камнями кидаются. Во избежание этого, оставлю еще одну рекомендацию:
Aluffi - Algebra. Chapter 0. Первые главы.

[NeRRR]

SomePupil
Спасибо!
Таким образом, изоморфизм = биекция?

[Someone]

NeRRR в сообщении #1256493 писал(а):

изоморфизм = биекция?

А определение изоморфизма какое?

[SomePupil]

NeRRR в сообщении #1256493 писал(а):

Таким образом, изоморфизм = биекция?

Не всегда. На изоморфизм обычно налагаются дополнительные ограничения.

[NeRRR]

SomePupil
Но можно ли сказать, что если не биекция, то не изоморфизм?

[SomePupil]

Можно.

[Someone]

NeRRR в сообщении #1256847 писал(а):

Но можно ли сказать, что если не биекция, то не изоморфизм?

NeRRR, ещё раз повторяю вопрос:

Someone в сообщении #1256496 писал(а):

А определение изоморфизма какое?

Как только определение изоморфизма будет Вами сформулировано и понято, так подобные вопросы сразу же станут тривиальными.