дивергенция в ортогональных криволинейных координатах

[nckg]

Как известно, в декартовых координатах дивергенцию поля $\mathbf{A} = (A_1^{(D)}, A_2^{(D)}, A_3^{(D)})$ можно представить в виде скалярного произведения $\operatorname{div} \mathbf{A} = (\nabla, \mathbf{A})$, где декартовы координаты вектора $\nabla$ определяются так: $\nabla_i^{(D)} = \frac{\partial}{\partial x_i}$. В ортогональных криволинейных координатах вектор $\nabla$ имеет координаты $\nabla_i = \frac{1}{H_i}\frac{\partial}{\partial q_i}$, где $H_i$ - соотв. коэфф. Ламе. А дивергенция имеет вид

$$\operatorname{div}\mathbf{A} = \frac{1}{H_1H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_1H_2H_3) + \frac{\partial}{\partial q_2}(A_2H_3H_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(A_3H_1H_2) \right],$$

что явно отличается от

$$(\nabla, \mathbf{A}) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial A_1}{\partial q_1} + \frac{1}{H_2}\frac{\partial A_2}{\partial q_2} + \frac{1}{H_3}\frac{\partial A_3}{\partial q_3},$$

где $A_i$ - криволинейные координаты $\mathbf{A}$.
В чём я ошибся? Или так оно и есть, т.е. в криволинейных координатах $\operatorname{div} \mathbf{A} \ne (\nabla, \mathbf{A})$?

[Zai]

У Вас опечатка, нет второй обобщенной координаты в одном из выражений. Если Вы воспользуйтесь свойствами коэффициентов Ламе, Вы должны получить тождество.

[nckg]

Спасибо, опечатки поправил! (видимо, копи-пэйст дал сбой:))
Но тождество мне получить не удалось. Если вычесть из одного выражения другое, получится равенство

$$\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[A_1\frac{\partial}{\partial q_1}(H_2H_3) + A_2\frac{\partial}{\partial q_2}(H_3H_1) + A_3\frac{\partial}{\partial q_3}(H_1H_2) \right]=0,$$

которое не обязано выполняться. Т.е. вопрос остаётся в силе.

[Brukvalub]

Почитайте второй том учебника Зорича - там все операции векторного анализа в криволинейных координатах подробно расписаны.

[Александр Т.]

nckg писал(а):

А дивергенция имеет вид

$$\operatorname{div}\mathbf{A} = \frac{1}{H_1H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_1H_2H_3) + \frac{\partial}{\partial q_2}(A_2H_3H_1) + \frac{\partial}{\partial q_3}(A_3H_1H_2) \right],$$

что явно отличается от

$$(\nabla, \mathbf{A}) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial A_1}{\partial q_1} + \frac{1}{H_2}\frac{\partial A_2}{\partial q_2} + \frac{1}{H_3}\frac{\partial A_3}{\partial q_3},$$

где $A_i$ - криволинейные координаты $\mathbf{A}$.
В чём я ошибся? Или так оно и есть, т.е. в криволинейных координатах $\operatorname{div} \mathbf{A} \ne (\nabla, \mathbf{A})$?

$$(\nabla, \mathbf{A}) = \left(\mathbf{i}_1 \frac{1}{H_1}\frac{\partial}{\partial q_1} + \mathbf{i}_2 \frac{1}{H_2}\frac{\partial}{\partial q_2} + \mathbf{i}_3 \frac{1}{H_3}\frac{\partial}{\partial q_3}\right)\cdot \left(A_1 \mathbf{i}_1 + A_2 \mathbf{i}_2 + A_3 \mathbf{i}_3\right) \ne \frac{1}{H_1}\frac{\partial A_1}{\partial q_1} + \frac{1}{H_2}\frac{\partial A_2}{\partial q_2} + \frac{1}{H_3}\frac{\partial A_3}{\partial q_3}$$

,
т.к. дифференцирование действует не только на $A_i$, но и на нормированные векторы локального базиса $\mathbf{i}_i$ (хотя их длина и не меняется (равна единице), их направления зависят от координат).

Рекомендую почитать главу 6 справочника Г.Корн, Т.Корн "Справочник по математике" (там несколько другие обозначения (коэффициенты Ламе не вводятся), но я думаю - разберетесь).

[nckg]

Спасибо, Александр Т.!

Проверил - в случае полярных координат всё сошлось (с учётом Вашего замечания). Думаю, и в общем случае можно проверить аналогично. Т.е. вопрос решён.

2 Brukvalub
Интересный учебник. По крайней мере, такого активного применения дифф. геометрии я ещё ни в одном учебнике по матану не видел;)