Неравенство для средних

[Edward_Tur]

Пусть $x_1 ,\,x_2 ,\,...,\,x_n $, $n > 1$ – набор разных чисел из промежутка $[0,\,1]$. Обозначим через $A_k $ среднее арифметическое всевозможных произведений разных $k$ элементов набора. Докажите, что последовательность $A_k $ невозрастающая.

[arqady]

Неравенство Маклорена убивает это.
http://kvant.mccme.ru/1980/04/p34.htm
http://kvant.mccme.ru/1980/04/p35.htm

[Edward_Tur]

Неравенство несложно доказать и без неравенства Маклорена.
Г-н М.Розенберг, обратили внимание, что наши задачи в "Кванте" рядом? Моя, правда, совсем неважная.

[arqady]

Сейчас обратил!
Правда, моя задача оказалась известным фактом. Это было тогда, помню, очень обидно. Придумать такой красивый факт и такое красивое рассуждение и всё это, как оказалось, - уже было!

[Edward_Tur]

У профессионалов это, наверное, часто бывает.

[TOTAL]

Edward_Tur писал(а):

Пусть $x_1 ,\,x_2 ,\,...,\,x_n $, $n > 1$ – набор разных чисел из промежутка $[0,\,1]$. Обозначим через $A_k $ среднее арифметическое всевозможных произведений разных $k$ элементов набора. Докажите, что последовательность $A_k $ невозрастающая.

Считаем, что $0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_k \leq \ldots$

Обозначим $S_n^k$ - сумма всевозможных произведений различных $k$ чисел,
выбранных из первых $n$ чисел

Имеем

$$S_n^k = \frac{S_n^k(x_n)+S_n^k(x_{n-1})+ \ldots + S_n^k(x_1)}{n-k},$$

где $S_n^k(x_i)$ - сумма всевозможных произведений различных $k$ чисел,
выбранных из первых $n$ чисел, исключая $x_i$

Очевидно, $S_n^k(x_n) \leq S_n^k(x_i), \; i \leq n$
(правая часть получается из левой заменой во всех произведениях-слагаемых
$x_i$ на большее число $x_n$)

Очевидно, $S_n^k(x_n) = S_{n-1}^k$

Поэтому

$$S_n^k \geq \frac{n S_n^k(x_n)}{n-k} = \frac{n S_{n-1}^k}{n-k}$$

или

$$ \frac{S_n^k}{C_n^k} \geq \frac{S^k_{n-1}}{C_{n-1}^k}$$

или

$$ S_{n-1}^k \leq \frac{n-k}{n}{S_n^k} $$

Теперь

$$ S_n^k = S_{n-1}^k + x_n S_{n-1}^{k-1} \leq \frac{n-k}{n}{S_n^k} + x_n \frac{n-k+1}{n}{S_n^{k-1}} $$

или

$$ k S_n^k \leq x_n (n-k+1) S_n^{k-1} $$

или

$$ \frac{S_n^k}{C_n^k} \leq x_n \frac{S_n^{k-1}}{C_n^{k-1}}$$