Сохранение ортогональности при транспонировании матрицы

[fractalon]

Обнаружил новый и неожиданный для себя факт - если матрица $A : n \times n$ является ортогональным базисом с одинаковыми нормами векторов, то матрица $A^T$ обладает теми же свойствами.
Доказать получилось только через прямое выражение матрицы поворота и индукцию по умножению матриц. А можно ли доказать это как-то более просто, алгебраически, используя только матричную (и обычную) арифметику, без понятия поворота, чтоб совсем наглядно было?

[Xaositect]

Матрица не может быть базисом, имеются в виду, видимо, столбцы матрицы?

Посмотрите, чему в Вашем случае будет равна матрица $A^TA$?

[fractalon]

Ух ты. Красиво. Спасибо!