Сравнение топологий в R, порождённых монотонной функцией

[vanger]

Пусть $f: \mathbb R \to \mathbb R$ -- строго монотонная функция. Рассмотрим метрику на $\mathbb R$

$$ d(x,y) = |f(x) - f(y)|, \quad x,y \in \mathbb R. $$

Оббязательно ли топология, порождённая такой метрикой, содержит стандартную топологию прямой? Если $f$ непрерывна, или точки разрыва изолированы, это так. А если $f$ "совсем плохая"? Скажем, разрывна в каджой рациональной точке?

[Mikhail_K]

А в чём проблема?

Если мы докажем, что любой интервал открыт в Вашей топологии, то вопрос будет решён: вместе с интервалами и любое открытое в стандартной топологии множество будет открыто в Вашей.

Берём интервал $(a,b)$. Пусть он не открыт в Вашей топологии. Это значит, что у какой-то точки $x_0\in(a,b)$ любая окрестность вылезает за его рамки. В том числе и окрестность $O_r(x_0)=\{x\,|\,|f(x)-f(x_0)|<r\}$ с любым $r>0$. Со строгой монотонностью $f$ противоречие получится?

[vanger]

И правда. Спасибо!