Различие между символами

[granit201z]

Подскажите пожалуйста в чем принципиальное смысловое различие между математическими символами: "принадлежит" $\in$ и "входит" $\subseteq$, а потом в свою очередь между этими $\subset$ и $\subseteq$. Правильно ли я понял, что последний означает "входит или равно"?

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1255317 писал(а):

а потом в свою очередь между этими $\subset$ и $\subseteq$.

Здесь обозначения различаются от книги к книге, поэтому надо быть внимательным. В приведённых Вами обозначениях, $\subset$ означает "является собственным подмножеством" (т.е. подмножеством, не совпадающим с самим множеством), $\subseteq$ означает "является подмножеством" (т.е., либо собственным, либо совпадающим с самим множеством); проще говоря, да: "входит или равно".

Во многих других книгах используются иные обозначения: значок $\subseteq$ не используется вообще, а значок $\subset$ означает то же самое, что у Вас обозначается как $\subseteq$. И такие обозначения лично мне ближе.

----------

Но это всё ерунда, по большей части, а вот смысловое различие между $\in$ и $\subset$ очень велико!

-- 13.10.2017, 11:46 --

Например, возьмём множество $M=\{a,b,c\}$. Его элементы - это $a$, $b$, $c$, поэтому пишут $a\in M$, $b\in M$, $c\in M$.
А вот $\{a,b\}$ - т.е. множество с элементами $a$ и $b$ - это не элемент $M$, а его подмножество: $\{a,b\}\subset M$, но неверно, что $\{a,b\}\in M$.

Более того, элемент множества, например $a$, следует отличать от множества $\{a\}$, включающего только один этот элемент и больше ничего. Имеем $a\in M$, $\{a\}\subset M$, но не наоборот.

-- 13.10.2017, 11:51 --

Отношение $\in$ вместе с понятием множества лежат в основании теории множеств, и поэтому не требуют какого-то определения.

Отношение $\subset$ (точнее, в Ваших обозначениях $\subseteq$) не фундаментально и требует определения. Именно, говорят что $M\subseteq N$, если $\forall x\in M,\,x\in N$ - т.е. любой элемент множества $M$ входит также и в множество $N$.

[granit201z]

Спасибо

[Someone]

Mikhail_K в сообщении #1255318 писал(а):

Имеем $a\in M$, $\{a\}\subset M$, но не наоборот.

А может быть даже $\{a\}=M$, раз уж мы используем символ "S\subset$" для строгого включения.