2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение x^2+pxy+qy^2=z^k
Сообщение13.10.2017, 09:01 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Докажите, что уравнение $x^2+pxy+qy^2=z^k$ имеет бесконечно много решений в целых числах $x,y,z$ при любых целых $p,q$ и любом натуральном $k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+pxy+qy^2=z^k
Сообщение13.10.2017, 10:58 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
:D $y=0, x=t^k, z=t^2$....

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+pxy+qy^2=z^k
Сообщение13.10.2017, 11:09 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Бдительность на высоте. В условии исключим нулевые решения.
А вот исходная формулировка Р.Кармайкла:
Describe a method for finding two-parameter solutions of the equation
$x^2+axy+by^2= z^k$ for any given positive integral value of k.
Это одно из упражнений в его книге DIOPHANTINE ANALYSIS.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+pxy+qy^2=z^k
Сообщение13.10.2017, 19:04 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Так вроде тоже легко:

(примерное рассуждение)

Если $k$ нечетно, то делаем подстановку $x=z^ku, y=z^kv$, получаем $u^2+auv+bv^2=z=Z(u,v)$ - получаем параметрическое решение в целых числах от $u,v\in\mathbb{Z}$.
Если же $k \bmod 2=0$, то делаем подстановку $x=z^{k-1}u, y=z^{k-1}v$ получаем уравнение $u^2+auv+bv^2=z^2$ в целых числах, т.е. уравнение $s^2+ast+bt^2=1$ в рациональных числах $s,t$. Рациональная точка у кривой $(1;0)$, значит есть 1-параметрическое семейство решений $s=s(a), t=t(a)$ в рациональных функциях, $a$ - рациональный параметр, тогда можно взять $z$ знаменателями, а $x,y$ - числителями дробей $s,t$, а чтобы получилось 2-хпараметрическое семейство, надо $a$ тоже расписать в виде дроби от 2-х переменных и упростить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^2+pxy+qy^2=z^k
Сообщение13.10.2017, 23:35 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Sonic86 , набросок доказательства с помошью метода секущих вполне подходит (поаккуратней только с обозначениями).
Однако, имелось в виду этот метод не использовать здесь, а применить метод "multiplicative domain".
А именно, воспользоваться тем, что $(m^2+amn+bn^2)(p^2+apq+bq^2)=x^2+axy+by^2\qquad(1)$,
где $x=mp-bnq, y=np+mq+anq\qquad(2)$
Полагая $p=m,q=n$, получаем $x^2+axy+by^2=(m^2+amn+bn^2)^2\qquad(3)$,
и $x=m^2-bn^2, y=2mn+an^2$
Далее умножаем обе части $(3)$ на $(m^2+amn+bn^2)$ и используем $(2)$ для нахождения следующих $x,y$ для $k=3$ и т.д.
Выбирая $m,n$ произвольно, получаем бесконечно много решений для любых натуральных $k$
При этом $z=(m^2+amn+bn^2)$ для всех $k$.
Рекурсию не выписываю. Она очевидна.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group