волчок Лагранжа

[pogulyat_vyshel]

Рассмотрим волчок Лагранжа и движения при которых в сферическом слое вырисовывается кривая с петлями. Угол нутации изменяется по периодическому закону: $\theta(t+\omega)=\theta(t)$. То, что ось волчка вращается вокруг вертикальной оси, хотя и с попятными движениями означает, что $\int_0^\omega\psi(t)dt\ne 0$. А как это доказать? Разумеется интересует доказательство на математическом уровне строгости. Ни где, кроме монографии Аппеля, этот вопрос даже не ставится. Аппель пишет, что строгое доказательство завело бы нас слишком далеко, поэтому мы просто это примем.

[mihiv]

Хотелось бы уточнить, а интеграл берется не от $\dot \psi ?$

[pogulyat_vyshel]

pardon, должно быть $\int_0^\omega\dot\psi(t)dt\ne 0$. Однако, задача решена, вопрос снят

[pogulyat_vyshel]

я поспешил, задача не решена ,вопрос остается

[mihiv]

Удалил.

[scwec]

С решением задачи можно ознакомиться здесь http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k9658909z/f232.image

[pogulyat_vyshel]

Спасибо!

[pogulyat_vyshel]

Обнаружил элементарное доказательство этого факта в учебнике ЮФ Голубева Основы теор мех В моем издании это стр 485
Однако, мне там не все понятно. scwec, посмотрите, пожалуйста подробно текст Голубева.

[scwec]

Посмотрел. Вполне приличный текст в принятой в то время стилистике.
Заодно вспомнил ЮФ, который в мою студенческую пору вёл на кафедре семинар по дифференциальным играм.

[pogulyat_vyshel]

Вы понимаете откуда взялась эта формула?

$$\omega_{\mbox{п}}=\frac{\boldsymbol e_3\times \boldsymbol K}{K^2_r}\cdot\frac{d\boldsymbol K}{dt}$$

я -- нет

[scwec]

C формулами надо разбираться. Пока ответа нет.

[scwec]

Похоже, что эта формула для угловой скорости вращения плоскости вокруг оси $e_3$ через векторы $K$ и $e_3$ верна безотносительно к природе этих векторов.
Либо нужно её где-то найти, возможно, она есть и в этой книжке в разделе Кинематика (а лучше доказать самостоятельно).
Позже посмотрю, может удастся встретить её где-нибудь у Виттенбурга.

[pogulyat_vyshel]

scwec в сообщении #1264108 писал(а):

а лучше доказать самостоятельно)

попробуем самостоятельно

$$\boldsymbol K_r:=\boldsymbol K-(\boldsymbol K,\boldsymbol e_3)\boldsymbol e_3,\quad \boldsymbol e_2:=\frac{\boldsymbol K_r}{|\boldsymbol K_r|},\quad \boldsymbol e_1:=[\boldsymbol e_3,\boldsymbol e_2]$$

тогда

$$\boldsymbol\omega_{\mbox{п}}=(\boldsymbol{\dot e}_1,\boldsymbol e_2)\boldsymbol e_3=-(\boldsymbol{\dot e}_2,\boldsymbol e_1)\boldsymbol e_3$$

отсюда действительно сразу следует результат (с точностью до знака) Вроде разобрался

[pogulyat_vyshel]

со знаком тоже все в порядке, в моей формуле должно быть $\boldsymbol e_1= [\boldsymbol e_2,\boldsymbol e_3]$