Обращается ли многочлен в ноль?

[INGELRII]

Вот есть произвольный многочлен от нескольких переменных, переменные могут принимать только положительные значения. Как понять, принимает ли многочлен нулевые значения?

Необходимым условием будет наличие среди коэффициентов при одночленах хотя бы одного положительного числа и хотя бы одного отрицательного. Но это условие не достаточно, ибо $x^2-xy+y^2$. Больше ничего придумать не могу.

[Someone]

И вряд ли здесь что-то простое можно придумать.

[atlakatl]

Проверить многочлен при нулевых значениях переменных.
Найти частные производные, - по ним можно прикинуть области и оси, где функция убывает.
А потом загоняем функцию в ЯП и сканируем по подозрительным областям.
Ну и поиск минимумов каким-либо методом - если предыдущее не помогает, но очень надо.

[Xaositect]

Удобнее перейти ко всему пространству, взяв вместо многочлена $p(x)$ многочлен $p(x^2)$. По Positivstellensatz он положителен на множестве $\{x\colon x_i\neq 0\}$ тогда и только тогда, когда он представим в виду суммы квадратов рациональных функций, причем хотя бы одна из этих рациональных функций имеет одночлен в числителе. Представления многочленов в виде суммы квадратов - это сейчас активная область исследований.
Можно еще попробовать заполнить пространство прямыми и использовать на каждой прямой теорему Штурма-Лиувилля.