Теория вероятностей, формулы комбинаторики

[ginger2008]

Добрый день, помогите пожалуйста решить задачу.
В сенате конгресса США формируется комитет, включающий 50 сенаторов, в который члены комитета отбираются случайным образом из числа сенаторов. Всего в сенате конгресса 100 сенаторов, по 2 представителя от каждого штата.
Найти вероятность того, что в комитете окажутся представлены все штаты (то есть 50 штатов.)

[Brukvalub]

Ответом является частное от деления числа таких выборок 50 чел. из 100, при которых в комитет попадает ровно по 1 сенатору от каждого штата на общее число различных выборок 50 чел. из 100.

[ginger2008]

Brukvalub писал(а):

Ответом является частное от деления числа таких выборок 50 чел. из 100, при которых в комитет попадает ровно по 1 сенатору от каждого штата на общее число различных выборок 50 чел. из 100.

это я поняла.
Знаю, как найти общее число различных выборок 50 чел. из 100
а как найти выборки 50 чел. из 100, при которых в комитет попадает ровно по 1 сенатору ?

[RIP]

ginger2008 писал(а):

а как найти выборки 50 чел. из 100, при которых в комитет попадает ровно по 1 сенатору ?

Переформулируем: от каждого штата надо выбрать 1 представителя из двух возможных. Так сколькими способами это можно сделать?

[ginger2008]

RIP писал(а):

ginger2008 писал(а):

а как найти выборки 50 чел. из 100, при которых в комитет попадает ровно по 1 сенатору ?

Переформулируем: от каждого штата надо выбрать 1 представителя из двух возможных. Так сколькими способами это можно сделать?

двумя?

[Brukvalub]

Нет, два способа есть для выбора представителя каждого штата, далее нужно воспользоваться принципом умножения величин независимых возможностей.

[Архипов]

Простым перебором вариантов посчитаем вероятность для малого количества. Для 4 получится $4/6$. Для 6 получится $8/20$.
Применим теорему о условной вероятности. В ящике лежат перемешанные шары: 50 - черных, 50 - белых . Кто вытащил белый шар - тот выбран в комиссию.
1.Вероятность из двух сенаторов от первого штата быть выбранным только одному равна 2*50*50/(100*99).
Две комбинации: ЧБ и БЧ, черный (50/100), белый шар (50/99).
2.Вероятность из двух сенаторов от второго штата быть выбранным только одному равна 2*49*49/(98*97).
Две комбинации: ЧБ и БЧ, черный (49/98), белый шар (49/97).
Перемножим вероятности двух этих событий (из двух штатов только по одному представителю попали в комиссию.
3.Вероятность из двух сенаторов от третьего штата быть выбранным только одному равна 2*48*48/(96*95).
Две комбинации: ЧБ и БЧ, черный (48/96), белый шар (48/95).
Опять перемножим вероятности предыдущих двух и третьего события. И так 50 раз. В итоге получим $Р=2^5^0*50!*50!/100!$
Проверим для малых количеств: для 4: $Р = 2^2*2!*2!/4! = 4/6$, для 6: $Р = 2^3*3!*3!/6! = 8/20$.
Cовпадают с простым перебором. Формула верна.

[PAV]

Да это верное решение, но обяснение не подходит. Формула верна не потому, что совпала с решением на малых числах. Все действия должны быть обоснованы строго, особенно в данном случае - перемножение вероятностей.