Задача с ТурГора

[Rusit8800]

Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна, а половина - отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений?

Решал ее сегодня на ТурГоре. Дома заметил, что в вычислениях сделал ошибку, надеюсь, что за задачу дадут хоть 1 балл из 4. Решил поделать ее на компе. Получилось 190.При этом $\[190 < C_{21}^2 = 210\]$ и это число весьма близко к $210$, что внушает мне некоторую надежду. Интересно сравнить с результатами форумчан.

-- 08.10.2017, 21:17 --

Решил своим методом поискать значения при для других $n$:
1)$n=5$ $K=6$
2)$n=7$ $K=15$
3)$n=8$ $K=12$
4)$n=9$ $K=28$
5)$n=11$ $K=45$

-- 08.10.2017, 21:19 --

Хотя результаты странные: для $n=6$ и $n=10$ ответом нет, а $K_8<K_7$

-- 08.10.2017, 21:42 --

Судя по ответам друзей, правильный ответ - $120$.

[grizzly]

Rusit8800 в сообщении #1254107 писал(а):

Получилось 190.

То есть только 20 произведений отрицательные? Это должно означать, что все числа, кроме одного, имеют один и тот же знак.

Rusit8800 в сообщении #1254107 писал(а):

1)$n=5$ $K=6$

Число положительных может быть только 2 или 3. Остальные -- отрицательные. В любом случае положительных произведений только 4. Да, что-то не так с Вашим методом и / или компьютером.

[DeBill]

Для 21: положительных (да и отрицательных) не мобыть больше 15 (иначе сугубо положительных пар -а, значит, и сумм, будет более 105)....

[atlakatl]

$(-21, -20, -19, -18, -17, -16, 1, 2, ..., 14, 15)$
Здесь все отрицательные по модулю больше всех положительных. Получается $(6 \cdot 5 + 15 \cdot 14)/2=120$ положительных произведений.
При соотношениях, отличных от $15:6$, получаются результаты хуже.
Ну и сам массив можно "оптимизировать": $(-2 \cdot 6, 1 \cdot 15)$

[JohnDou]

Понятно что среди этих чисел будут как положительные, так и отрицательные. Произведения будут положительными если оба умножаемых числа положительны или отрицательны.

Пусть $k$ количество отрицательных чисел. Найдём теперь наибольшее и наименьшее возможное значение для $k$. Наименьшим будет $6$. Для положительных чисел минимум будет тем же т.е. $6\leq k\leq 15$

Рассмотрим теперь функцию $f(x):=C^2_x+C^2_{21-x}=x^2-21x+210$. Где $f(k)$ это кол-во положительных произведений. Нам нужно найти максимум этой функции на отрезке $[6;15]$. Заметим что минимум $f$ $(x=10,5)$ попадает в этот участок. А поскольку $f$ является растущей параболой, удовлетворяющим нас целым максимумом будет самая далёкая от минимума $f$ точка. Этим условиям удовлетворяют $6$ и $15$.

Тогда наибольшее кол-во положительных произведений $f(6)=f(15)=C^2_6+C^2_{15}=120$