когомологии

[Таня Тайс]

У меня сразу несколько вопросов: во-первых, если дана точная последовательность групп

$$ 1 \to A \to B \to C \to 1$$

,
обязательно ли

$$ 1 \to 1_{A} \to 1_{B} \to 1_{C} \to 1 $$

,т.е. нейтральный элемент отображается в нейтральный?

Вопрос, более серьёзный: Рассмотрим последовательность

$$ H^{1}(G,A) \to H^{1}(G,B) \to H^{1}(G,C) \to H^{2}(G,A)$$

,
где группа G действует на A, B, C.
Этo последовательность когомологий, нужно сконструировать отображение

$$ \partial \colon H^{1}(G,C) \to H^{2}(G,A) $$

Решаем: берём 1-коцикл из $H^{1}(G,C)$. Пусть это будет $ \sigma \mapsto c_{\sigma}$. Для всех 1-коциклов верно, что

$$c_{\sigma \tau}= c_{\sigma} \sigma (c__{\tau})$$

.
Понятно, мы можем для каждого $c_{\sigma}$ найти $b_{\sigma}$(даже несколько). Понятно, что все такие элементы
$b_{\sigma} \sigma (b_{\tau})b_{\sigma \tau}^{-1} \mapsto 1_{C}$ отображаются в нейтр. элемент.
НЕПОНЯТНО: почему для всех этих элементов из B найдётся хотя бы одно $a_{\sigma ,\tau}$ из A?
Кто-нибудь может мне помочь? Спасибо в любом случае.

[Brukvalub]

Таня Тайс писал(а):

если дана точная последовательность групп

$$ 1 \to A \to B \to C \to 1$$

,
обязательно ли

$$ 1 \to 1_{A} \to 1_{B} \to 1_{C} \to 1 $$

,т.е. нейтральный элемент отображается в нейтральный?

Точная последовательность - это последовательность гомоморфизмов групп, в которой образ предыдущего отображения совпадает с ядром следующего. Но гомоморфизм групп обязательно отображает единицу группы на единицу, что и дает ответ на Ваш первый вопрос.

[Таня Тайс]

Спасибо! Так я и думала!

Тогда проблема в следующем:
Если $ 1_{B}$ переходит в $ 1_{C}$, значит, при попытке сопоставить элементу $c_{\sigma}$ элемент из $A$ и рассматривая элементы из $B$ вида $b_{\sigma } \sigma (b_{\tau})b_{\sigma \tau}^{-1} \mapsto 1_{C} $ мы получим среди них и $b_{\sigma } \sigma (b_{\tau})b_{\sigma \tau}^{-1} =1_{B} \mapsto 1_{C}$, а для этого элемента существует однозначное $a_{\sigma , \tau} = 1_{A}$ , ведь отобр.$A \to B$ инъективно.

Бред какой-то получается, в книге, по которой я учу (P. Gille, T. Szamuely, Central simple algebras and Galois cohomology), стоит $a_{\sigma , \tau}=b_{\sigma } \sigma (b_{\tau})b_{\sigma \tau}^{-1}$. Потом доказывается, что определение корректно, что последовательность точна и т. п... А я никак не могу понять, откуда берётся это $a_{\sigma , \tau}$.

Наверное, моя проблема в том, что я ничего не знаю про отобр. между $ H^{1}(G,A) \to H^{1}(G,B) \to H^{1}(G,C) \to H^{2}(G,A) $... может, кто-нибудь знает

[Таня Тайс]

Я разобралась! Так старалась объяснить, что мне непонятно, что всё поняла!