Дзета-функция Римана

[kotenok gav]

Как определяется дзета-функция $\operatorname{\zeta}(s)$ для $0\leq \operatorname{Re}s \leq 1$?

[Mishka_Barni]

Можно в Карацубе "Основы аналитической теории чисел", гл. 4 или в Чандрасекхаран "Арифметические функции" посмотреть (или ещё где..., книг много).

[kotenok gav]

Спасибо!

-- 06 окт 2017, 15:41 --

И еще один вопрос:

$$\int\limits_{\frac12}^{\infty}\operatorname{\zeta}(\sigma+it)d\sigma=\lim\limits_{s \to 0}\int\limits_{\frac12}^{1-s}\operatorname{\zeta}(\sigma+it)d\sigma+\lim\limits_{s \to 0}\int\limits_{1+s}^{\infty}\operatorname{\zeta}(\sigma+it)d\sigma$$

или нет?

[ex-math]

Да, если Вы понимаете интеграл в смысле главного значения и если $s$ стремится к нулю справа. Это при $t=0$. В остальных случаях интеграл особенности при $\sigma=1$ нет.

[kotenok gav]

ex-math в сообщении #1253607 писал(а):

в смысле главного значения

Какого главного значения?

ex-math в сообщении #1253607 писал(а):

$s$ стремится к нулю справа

Да.

[ex-math]

Интеграл в смысле главного значения, посмотрите в вики.
Если интегрировать по вещественной оси, Вы наткнетесь на особую точку. В обычном смысле интеграл расходится, но существует в смысле главного значения.

[kotenok gav]

ex-math в сообщении #1253610 писал(а):

Интеграл в смысле главного значения, посмотрите в вики.

Я там не нашел.

[ewert]

kotenok gav в сообщении #1253608 писал(а):

Какого главного значения?

Когда не сумма пределов (её нет), а предел суммы.

[Someone]

kotenok gav в сообщении #1253608 писал(а):

Какого главного значения?

$$\int\limits_{\frac12}^{\infty}\operatorname{\zeta}(\sigma+it)d\sigma=\lim\limits_{s \to 0^+}\left(\int\limits_{\frac12}^{1-s}\operatorname{\zeta}(\sigma+it)d\sigma+\int\limits_{1+s}^{\infty}\operatorname{\zeta}(\sigma+it)d\sigma\right)$$

А сумма пределов при $t=0$ не имеет смысла, о чём Вам уже писали.