Многочлены двух переменных

[sa233091]

Пусть дана система двух уравнений:
$F(x, y)=0$
$G(x, y) = 0$
Где $F(x, y), G(x, y)$ - многочлены двух переменных степений $a, b$ соответственно $(a>b)$
Верно ли, что если система имеет хотя бы $(ab+1)$ решений, то $F(x, y)$ делится на $G(x, y)$? Или для этого заключения необходимо, чтобы $G(x, y)$ был неприводимым?

[Xaositect]

Нужна неприводимость. Рассмотрите, например, $xy^2$ и $x(y + 1)$.

[sa233091]

Точно, спасибо за ответ А как это можно доказать? Или где можно почитать доказательство? (у меня даже случай, когда $G(x, y)$ имеет 2 степень получился с трудом) Особенно интересно, если степень $G(x, y)$ больше 4, ведь тогда его корни не выражаются через коэффициенты и решение подстановкой вообще невозможно.

[Xaositect]

Это теорема Безу (для кривых на плоскости). Почитать можно, например, Шафаревич "Основы алгебраической геометрии" том 1, самая первая глава.

[sa233091]

Не могли бы вы указать поподробнее в каком параграфе можно прочитать это доказательство? Я просто просмотрел всю 1 главу и теоремы Безу не нашел.

[Xaositect]

Ой, да. Он пишет, что доказывает общую теорему Безу позже (глава 4, параграф 2). Сейчас поищу что-нибудь попроще, для Ваше частного случая тяжелая артиллерия не обязательна.

-- Ср окт 04, 2017 20:53:59 --

Уокер "Алгебраические кривые", глава III, параграф 3.

[sa233091]

Все, теперь вроде разобрался. Больше Вам спасибо за помощь!

[kp9r4d]

Так ну для кривых на плоскости это же очевидно: достаточно как-нибудь связать род со степенью и потом использовать теорию пересечений на $CP^2$ (как на топ. многообразии).

-- 04.10.2017, 22:33 --

А, род вообще не причём, когомологический класс кривой степени $d$ это просто $d$ штук прямых - можно ведь деформациями к сингулярному случаю привести. Ну так вообще изи.

-- 04.10.2017, 22:46 --

А, ну тогда и для всех очевидно на самом деле, извините, это уже доказательство по сути.