Вариация функционала

[Bobris]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться с парочкой вопросов:

1) требуется найти первую вариацию данного функционала:
$M_\alpha [g,f] = \int \limits_c^d \Big[ \int \limits_a^b h(\xi, x) f(x) dx - g(\xi) \Big]^2 d\xi + \alpha \int \limits_a^b \Big[q_0(x)f^2(x)+q_1(x)\Big(\frac{df}{dx}\Big)^2\Big] dx$,
$\alpha$ -- константа.

Такая штука получается у меня:

$2 \int \limits_c^d \int \limits_a^b h(\xi, x) \delta f(x) dx \Big( \int \limits_a^b h(\xi, x) f(x) dx - g(\xi)\Big) + 2 \alpha \int \limits_a^b \Big(q_0(x)f(x) \delta f(x)+q_1(x)\Big(\frac{df}{dx}\Big) \frac{d \delta f}{dx}\Big) dx$

Нет оснований не доверять автору книги, в котором данный функционал представлен, но наши ответы не сходятся. В книге результат следующий:



В чём моя ошибка? Варьировал функцию $f(x)$, поскольку в рамках разбираемой темы данная функция является решением задачи. Точнее, решений у нас получается много (обратные некорректно поставленные задачи), а мы из класса возможных решений выбираем то, что с минимальной ошибкой.
2) Почему автор утверждает, что условие минимума достигается при выполнении равенств (2.5) и (2.6)?

Спасибо!

[DeBill]

Bobris
1.Ошибки нет, есть неаккуратность, и есть опечатка у Автора ( в формуле для $p(x)$ должно стоять $g$ вместо $f$):
пропущено $d\xi$; в первом слагаемом, в том интеграле, что в скобках, используйте другую переменную интегрирования ($t$, например, вместо $x$),
поменяйте порядок интегрирования, во втором слагаемом - проинтегрируйте по частям -
и получится (после отбрасывания двойки) что надо.
2. Приращения "внутре" (в интегральной части ф-ла) и в граничных точках можно считать
независимыми, так что и коэф-ты при них - обОих - должны быть нулевыми...

[svv]

Bobris в сообщении #1253012 писал(а):

Такая штука получается у меня:

$2 \int \limits_c^d \int \limits_a^b h(\xi, x) \delta f(x) dx \Big( \int \limits_a^b h(\xi, x) f(x) dx - g(\xi)\Big) + 2 \alpha \int \limits_a^b \Big(q_0(x)f(x) \delta f(x)+q_1(x)\Big(\frac{df}{dx}\Big) \frac{d \delta f}{dx}\Big) dx$

А дальше ключевой момент. Если у Вас в каком-то интеграле появился множитель $\frac{d}{dx}\delta f$, Вы должны с помощью интегрирования по частям перебросить производную $\frac{d}{dx}$ на остальные множители, а $\delta f$ от производной освободить. У Вас возникнут внеинтегральные члены, но они равны нулю, так как надо предположить, что вариация исчезает на границе области.

Это надо сделать потому, что из равенства нулю $\int p\delta f dx+\int q(\delta f)' dx$ (где $p, q, f$ функции) при произвольной вариации $\delta f$ не следует, что $p=0, q=0$, так как $\delta f$ и $(\delta f)'$ не являются независимыми.
Совсем другое дело будет, когда Вы приведёте это к виду $\int (p-q')\delta f dx$.

[Bobris]

DeBill,
svv,
спасибо!

А порядок интегрирования для удобства меняется? И ещё не понимаю, как от умножения $ \int \limits_a^b h(\xi, x) \delta f(x) dx \cdot \Big( \int \limits_a^b h(\sigma, t) f(t) dt \Big)$ происходит переход к $ \int \limits_a^b h(\xi, x) h(\sigma, t) \delta f(x) f(t) dx dt \Big)$? Вообще не решался какие-либо операции подобные над ядрами производить по той причине, что "привязывал" их к конкретным функциям. Почему их можно так "перебрасывать"?

Цитата:

Приращения "внутре" (в интегральной части ф-ла) и в граничных точках можно считать
независимыми, так что и коэф-ты при них - обОих - должны быть нулевыми...

А почему это так? Если Вы можете подкинуть ссылку на какую-нибудь хорошую книжку по вариационному исчислению (такую, где доступно объяснено это дело), буду безмерно благодарен! А то информацию собираю через поисковик, цельную картину собрать не получается пока...

И ещё:

Цитата:

У Вас возникнут внеинтегральные члены, но они равны нулю, так как надо предположить, что вариация исчезает на границе области.

Я по частям проинтегрировал, там у меня только 2 члена и осталось, как и в книге. Или Вы про общий случай?

[DeBill]

Bobris в сообщении #1253039 писал(а):

происходит переход к

- и там должОн быть двойной интеграл.
Почему можно? Дык, по теореме Фубини. И вот, если - опять же, по Фубини, в этом двойном, свести к повторному, с внешним "по $x$" , то и вылезет слагаемое - как у мужика в книжке.

Bobris в сообщении #1253039 писал(а):

А почему это так?

Ну, меня так в детстве учили...Типа, приращение можно взять с нулевыми граничными, и отличным (и любым) от нуля лишь в малой окрестности данной точки - и это даст обнуление (в данной точке) к-та при приращении в интегральной части . И так - для всех внутренних точек (а по непр-ти - и в концах). Но тогда зануляется и оставшаяся часть...
Насчет ссылок: хорошей дать не могу, а плохих ...

-- 04.10.2017, 19:10 --

Bobris в сообщении #1253039 писал(а):

для удобства меняется?

Ну, за ради того, чтоб привести вариацию к "правильному " виду, как у svv

[Bobris]

DeBill,

спасибо большое!

Про теорему Фубини слышать не доводилось, но уже нашёл в Зориче.:) Смешно, что пользовался её плодами, но не подозревал об этом. По крайней мере, не помню.:)

Ну если и плохих посоветуете, тоже не откажусь.:) Бэкграунд -- инженерно-физический институт, то есть, математику в... физическом варианте. Плюс что-то уже забылось, поскольку не использовалось. Но сейчас появилась необходимость и, главное, желание прокачать свои математические способности. Основная тема -- обратные некорректно поставленные задачи. Информацию беру из разных источников, но хочется это дело упорядочить. Если подскажете ориентиры в функциональном анализе и вариационном исчислении, будет здорово! С мерой Лебега бы ещё разобраться...

[svv]

Bobris в сообщении #1253039 писал(а):

Я по частям проинтегрировал, там у меня только 2 члена и осталось, как и в книге. Или Вы про общий случай?

И про Ваш тоже. У Вас есть интеграл
$\int \limits_a^b \left(q_0(x)\,f(x)\,\delta f(x)+q_1(x)\,\frac{df(x)}{dx}\,\frac{d \delta f(x)}{dx}\right) dx$
Выделю второе слагаемое в отдельный интеграл, сейчас меня интересует только он. Обозначим $q(x)=q_1(x) \frac{df(x)}{dx}$. Проинтегрируем по частям. Получится
$\int \limits_a^b q(x)\,\frac{d \delta f(x)}{dx}\,dx=\left.\left(q(x)\,\delta f(x)\right)\right|_a^b-\int \limits_a^b \frac{dq(x)}{dx}\,\delta f(x)\,dx$
Вот эта штука $\left.\left(q(x)\,\delta f(x)\right)\right|_a^b$ у Вас тоже должна была появиться. Что Вы с ней делали, как от неё избавлялись?

Hint: высота скобок будет автоматически регулироваться в зависимости от высоты заключённого в них выражения, если писать так:
\left( выражение \right)
Все скобки так оформлять громоздко, но там, где нужно, это очень полезно. Работает не только на круглых скобках.

[Bobris]

svv,

у меня то же самое получилось, это я не сразу Вас понял. Как раз об обнулении внеинтегральной части мой второй вопрос.
Пока не понимаю, откуда берётся подобное допущение. Почему мы выбираем нулевые граничные условия? Это следствие какой-то теоремы?

[svv]

Надо уточнить: это не нулевые граничные условия. На границе равна нулю лишь вариация $\delta f$ искомой функции. А она равна нулю, потому что значения функции на границе заданы. И сами эти значения в общем случае ненулевые.

Зачем задавать значения на границе? Ну, во-первых, многие вариационные задачи изначально имеют постановку с фиксированными концами — например, задача о брахистохроне: по какой кривой $y=f(x)$ шарик быстрее всего скатится вот из этой точки $(x_0, y_0)$ вот в эту точку $(x_1, y_1)$. Конечно, в вариационном исчислении рассматриваются и задачи с другими условиями (напр. задачи с подвижными концами).

Во-вторых, многие законы физики можно сформулировать в виде вариационных принципов. И условие того, что значения функции на границе области фиксированы, может «прилагаться» к функционалу, который используется в данном принципе.

(Оффтоп)

Ну, конечно, всё ради того, чтобы проклятый внеинтегральный член обратился в нуль.

Например, в книге Арнольда «Математические методы классической механики»:
Шаг 1.

Шаг 2.

Шаг 3.

[Bobris]

svv,

спасибо большое за пояснение и примеры!

Вроде пока больше вопросов нет.:)