Определение оптимального параметра k в методе моментов

[m09kaa4]

Здравствуйте.

Рассмотрим некоторую выборку $X_1, \dots, X_n$ из равномерного распределения $[0, \Theta]$. Оценим параметр $\Theta$ методом моментов, получим: $\Theta^*(m_k) = ((k+1)m_k)^{1/k}$ ($m_k$ -- момент k-того порядка).
Теперь нужно вычислить, какое k взять (ответить на вопрос: побольше или поменьше?). Для этого нужно минимизировать дисперсию $\mathbb{E}(\Theta^*(m_k) - \Theta)^2$. Я не совсем понимаю, как это сделать. На паре раскладывали $\Theta^*$ в ряд Тейлора (тут, навреное, нужно сослаться на какую-нибудь теорему о аконности этого действия).
Из состоятельности оценки следует, что в большой выборке $\mathbb{P}(|\Theta^*(m_k) - \Theta| > \varepsilon) \rightarrow 0$, так что можем рассматривать $\Theta^*(m_k)$ лишь в окрестности $\Theta$ (интеграл по всему остальному не превзойдет $\varepsilon$). В таком случае $m_k$ находится в окрестности $\tilde{m_k} = \Theta^k / (k+1)$. Разложим $\Theta^*(m_k)$ в данной окрестности и отнимем $\Theta$, получим: $\Theta^*(m_k) - \Theta= \frac{k+1}{k} \Theta^{1-k}(\delta) + o(\delta)$, $\delta = m_k - \tilde{m_k}$.
Видимо, дальше нужно каким-то образом оценить интеграл от $\delta(m_k)$, но я не представляю, как это сделать. Не могли бы вы подсказать?

Судя по моделированию, в данной задаче вне зависимости от значения $\Theta$нужно брать большое $k$ во всех случаях.
Заранее спасибо.

[GAA]

Только для $\theta_1^*$ (т.е. $2\bar X$) можно найти дисперсию (несмещённость очевидна). Для более высоких порядков оценка — корень от выборочного момента (с множителем). Тут, если строго, то только асимптотическое сравнение оценок. См. любой приличный учебник по МС. В лекциях Н.И. Черновой по МС разбирается Ваш пример.

[Евгений Машеров]

Ответ "k брать как можно больше" разумный, поскольку ММП-оценка тут - максимальное значение. А построенная Вами оценка будет стремиться к максимальному элементу выборки.

[m09kaa4]

GAA
Спасибо, доказательство для равномерного понял.
Попробу сделать еще экспоненциальное.