Вычислить гауссов интеграл

[lulusa]

Нужно выполнить преобразование Фурье функции $f(\vec{r}) = e^{-\frac{r^2}{a^2}}$, сведя его к Гауссу:
$ \[ F(\vec{k}) = v.p. \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} d^3\vec{r} e^{-i\vec{k}\vec{r} -\frac{r^2}{a^2}} \]$

Выделяем полный квадрат и делаем линейный сдвиг $r' = \frac{\vec{r}}{a} + \frac{ia\vec{k}}{2}$. Мне не понятно одно, почему пределы интегрирования остаются теми же (не смотря на сдвиг в комплексную плоскость и v.p.)?
Спасибо!

[Ms-dos4]

lulusa
Они меняются, но интегралы оказываются равны. Используйте интегральную теорему Коши.