Квадрат, вписанный в простую замкнутую кривую.

[Саня]

Доказать , что на каждой простой замкнутой плоской кривой существует четыре точки , которые могут служить вершинами квадрата .
Подскажите , как доказать или книгу , где можно это доказательство прочитать.

[Lion]

Посмотрите статью Шнирельмана "О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых"// Успехи мат. наук, выпуск Х, 1944, стр. 34 -- 44

[Юстас]

Зафиксируем на кривой точку $x$. Проведем через неё ориентированную хорду, второй её конец обозначим $y$. Через середину отрезка $xy$ перпендикулярно ему проведем хорду. Пусть левая половина получившейся хорды(относительно нашей ориентации) имеет длины $p_1$, правая $p_2$. Рассмотрим $f(x,y)=p_2-p_1$. Очевидно $f(y,x)=-f(x,y)$. Наша функция действует из $S^1\times S^1\rightarrow R$, $S^1$- обычная окружность. $S^1\times S^1$ топологически то же самое что и тор(это всё для наглядности решения). На торе можно выбрать непрерывный путь, соединяющий точки $(x,y)$ и $(y,x)$. В силу непрерывности $f$ вдоль этого пути существует точка, такая что $f(x_0,y_0)=0$, что и доказывает утверждение.