определение координат на эллипсоиде

[VitDer]

Добрый день, помогите, пожалуйста, разобраться в таком вопросе. Есть уравнения движения объекта на
поверхности эллипсоида: $\frac{dB}{dt}=Vn/M$;$\frac{dL}{dt}=Ve/(N\cdot\cos(B))$, где $B, L$ - геодезические широта и долгота объекта, $Vn, Ve$ - составляющие скорости по меридиану и параллели, $M,N$ - радиусы кривизны меридиана и первого вертикала. Всё бы ничего, но в первом уравнении знаменатель правой части $M=a\cdot(1-e^2)/\sqrt{(1-e^2\cdot \sin(B)^2)^3}$ зависит от широты $B$ при заданной малой полуоси $a$ и эксцентриситете $e$. То есть, получается уравнение вида:
$\frac{dB}{dt}=Vn(t)\cdot \sqrt{(1-e^2\cdot \sin(B)^2)^3}/(a\cdot(1-e^2))\cdot$$. Решить его численно не представляет особого труда, а вот возможно ли точное его решение? Или как можно доказать, что точного решения нет. Пока мысли такие, что нужно сделать какую-нибудь удачную замену переменных, но вот какую ... вопрос ...

[svv]

А функция $V_n(t)$ не задана?

[VitDer]

svv в сообщении #1251846 писал(а):

А функция $V_n(t)$ не задана?

Аналитически - нет. Произвольная функция времени ...

[Pphantom]

Это уравнение с разделяющимися переменными, соответственно, весь вопрос сводится к возможности взятия интеграла

$$ \int \frac{dB}{(1-e^2 \sin^2 B)^{3/2}}. $$

В общем случае (при произвольных $e$) тут вылезет эллиптический интеграл, так что с точным решением в элементарных функциях все плохо. Можно получить решение в виде разложения в ряд по степеням эксцентриситета, он довольно хорошо сходится.

-- 29.09.2017, 21:36 --

P.S. Да, само собой, $V_n(t)$ тоже интегрировать придется, что может и не получиться.

[VitDer]

Если $Vn(t)$ не имеет аналитического описания, то не имеет аналитического описания и её первообразная (интеграл) от этой функции. Поэтому, возможно, и не будет точного решения ...