Разложение по сферическим функциям

[Krikus.ms]

Добрый день.
Пытаюсь выполнить обратное преобразование Фурье довольно сложной функции:

$G = \frac{1}{k^2}\frac{b^2 + b (a+b+d)(\sin^2(\phi)\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) ) + d(2a+2b+d)\sin^2(\phi)\sin^2(\theta)\cos^2(\theta)}{b^2(a+2b+d) + b d (2a+2b+d) (\sin^2(\theta)\cos^2(\theta)+\cos^2(\phi)\sin^2(\phi)\sin^4(\theta)) + d^2 (3a + 3b + d)\cos^2(\phi)\sin^2(\phi)\sin^4(\theta)\cos^2(\theta)}$

Я научился брать интегралы, используя разложение по сферическим функциям, включая всякий Wave Plane expansion. Но мне мешает знаменатель, а точнее сумма функций в нем, не позволяет мне выполнить разложение на сумму $Y_{m}^{l}$.

Как можно упростить выражение, чтобы можно было удачно разложить по сферическим? Возможно есть некие свойства у присоединенных функций Лежандра, позволяющие разобраться с суммой в знаменателе.

Спасибо.

[svv]

Скажите, а исходной была функция от декартовых координат? Если да, можно на неё взглянуть?

[Krikus.ms]

svv в сообщении #1251836 писал(а):

Скажите, а исходной была функция от декартовых координат? Если да, можно на неё взглянуть?

Да, вы правы.

$G = \frac {b^2 k^4 + b (a + b + d) (k_y^2 + k_z^2) k^2 + d (2 a + 2 b + d) k_y^2 k_z^2} {b^2 (a + 2 b + d) k^6 + b d (2 a + 2 b + d) k^2 (k_x^2 k_z^2 + k_x^2 k_y^2 + k_y^2 k_z^2) + d^2 (3 a + 3 b + d) k_x^2 k_y^2 k_z^2}$

[svv]

Del — глупость написал.

[Krikus.ms]

svv в сообщении #1251840 писал(а):

Вы добавите ещё множитель $e^{\pm i\mathbf k\cdot\mathbf r}$. Поворотом системы координат можно добиться того, чтобы вектор $\mathbf k$ был направлен по оси $z$, а вектор $\mathbf r$ лежал в плоскости $Oxz$. Тогда можно положить $\tilde k_x=\tilde k_y=0,\; \tilde k_z=k$ (тильдой помечены компоненты в новом базисе), и выражение упростится (но значение интеграла, не зависящее от выбора СК, останется прежним). Возможно, будет уже не так страшно.

Спасибо за ответ.
Да, множитель с экспонентой я просто не написал, но он есть, как $k^2 \sin(\theta)$. Вот идея с поворотом мне нравится, но никак не могу придумать, как учесть поворот СК, чтобы переписать подинтегральные функции.

[svv]

Я тоже — ум за разум зашёл.

[Krikus.ms]

Вот здесь сумели разложить довольно сложную функцию по сферическим. $f(\theta,\phi) = \frac {cos\theta}{1 - e^{i\phi} sin\theta}$Хм.., может у меня похожим образом...