Квадрат из двойки и единиц

[Ktina]

Десятичная запись квадрата натурального числа состоит из одной двойки и $k-1$ единицы, записанных в некотором порядке.
Докажите, что $k$ не делится на 11.

[Dmitriy40]

Учитывая что похоже возможно лишь $k=3$ - оно явно не делится на 11. Правда как доказать не знаю.

[Cash]

$\frac{10^k-1}9+10^{i-1}=a^2$
$10^k-1+10^{i-1}=(3a)^2$
При $i>2$ слева стоит число вида $4n-1$, а $10^k+8$ делится на нечетную степень двойки при $k>3$. И потому вопрос сводится к поиску квадратов вида $10^k+89$.

Понятно, что $k$ - нечетно (иначе слишком близко к квадрату).
$10^{11p}+1$ при нечетном $p$ делится на $11^2$, а вот $88$ только на $11$

[Ktina]

Cash
Большое спасибо!

[Shadow]

Dmitriy40 в сообщении #1251680 писал(а):

Учитывая что похоже возможно лишь $k=3$ - оно явно не делится на 11. Правда как доказать не знаю.

С помощью Пелля http://dxdy.ru/topic64329.html

[Dmitriy40]

Хм, т.е. вся тема фактически повтор/переформулировка той ...