циклическое неравенство

[Alexander Evnin]

Пусть $x_1, x_2, \dots, x_5$ - положительные числа. Верно ли что всегда

$$\frac{x_1}{x_5+x_1+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_2+x_3}+\dots+\frac{x_5}{x_4+x_5+x_1}<2?$$

Легко доказать, что левая часть неравенства меньше $2\frac13$...

[sergei1961]

Если не думать, а поискать готовое, то подобные неравенства типа Шапиро рассматриваются в известной книге Claasical and new inequalities in analysis, гл. 16. Их там много, не знаю, есть ли это.

[mihiv]

Пусть $x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_5$, тогда $\dfrac {x_1}{x_5+x_1+x_2}+\dfrac {x_2}{x_1+x_2+x_3}+\dfrac {x_3}{x_2+x_3+x_4}\leq 1$. Очевидно также, что и $\dfrac {x_4}{x_3+x_4+x_5}+\dfrac {x_5}{x_4+x_5+x_1}<1$, поэтому неравенство выполняется.

-- Чт сен 28, 2017 01:20:41 --

mihiv в сообщении #1251372 писал(а):

Пусть $x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_5$, тогда $\dfrac {x_1}{x_5+x_1+x_2}+\dfrac {x_2}{x_1+x_2+x_3}+\dfrac {x_3}{x_2+x_3+x_4}\leq 1$. Очевидно также, что и $\dfrac {x_4}{x_3+x_4+x_5}+\dfrac {x_5}{x_4+x_5+x_1}<1$, поэтому неравенство выполняется, если выполнены принятые неравенства для $x_i$.

[Alexander Evnin]

mihiv в сообщении #1251372 писал(а):

Пусть $x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_5$, тогда $\dfrac {x_1}{x_5+x_1+x_2}+\dfrac {x_2}{x_1+x_2+x_3}+\dfrac {x_3}{x_2+x_3+x_4}\leq 1$.

Это утверждение неверно. Возьмите, например, $x_1=1$, $x_2=x_3=x_4=x_5=2$.

-- 28.09.2017, 08:52 --

sergei1961 в сообщении #1251275 писал(а):

Если не думать, а поискать готовое, то подобные неравенства типа Шапиро рассматриваются в известной книге Claasical and new inequalities in analysis, гл. 16. Их там много, не знаю, есть ли это.

Спасибо за ссылку!
Да, такое неравенство там обнаружилось (под номером 26.8). Но доказательство, увы, не приводится.
Имеется лишь ссылка на статью DAYKIN, D. E., Inequalities for certain cyclic sums, Proc. Edinburgh
Math. Soc. (2) 17 (1971), 257-262.

[StaticZero]

Alexander Evnin в сообщении #1251396 писал(а):

Возьмите, например, $x_1=1$, $x_2=x_3=x_4=x_5=2$.

Взял. Сумма трёх указанных дробей составляет $3/5+1/3 < 0{,}94$.

[Alexander Evnin]

StaticZero в сообщении #1251398 писал(а):

Alexander Evnin в сообщении #1251396 писал(а):

Возьмите, например, $x_1=1$, $x_2=x_3=x_4=x_5=2$.

Взял. Сумма трёх указанных дробей составляет $3/5+1/3 < 0{,}94$.

Да, обсчитался:)

[maxal]

Alexander Evnin в сообщении #1251396 писал(а):

Да, такое неравенство там обнаружилось (под номером 26.8). Но доказательство, увы, не приводится.
Имеется лишь ссылка на статью DAYKIN, D. E., Inequalities for certain cyclic sums, Proc. Edinburgh
Math. Soc. (2) 17 (1971), 257-262.

Статья свободно скачивается с https://doi.org/10.1017/S0013091500026985

[Alexander Evnin]

Alexander Evnin в сообщении #1251399 писал(а):

StaticZero в сообщении #1251398 писал(а):

Alexander Evnin в сообщении #1251396 писал(а):

Возьмите, например, $x_1=1$, $x_2=x_3=x_4=x_5=2$.

Взял. Сумма трёх указанных дробей составляет $3/5+1/3 < 0{,}94$.

Да, обсчитался:)

Утверждение, действительно. верное. Если в знаменателе первой дроби заменить $x_5$ на $x_3$, а в знаменателе последней $x_4$ на $x_1$, то эти дроби увеличатся (точнее, не уменьшатся), а сумма трёх дробей станет равной 1.

-- 28.09.2017, 09:47 --

maxal в сообщении #1251400 писал(а):

Alexander Evnin в сообщении #1251396 писал(а):

Да, такое неравенство там обнаружилось (под номером 26.8). Но доказательство, увы, не приводится.
Имеется лишь ссылка на статью DAYKIN, D. E., Inequalities for certain cyclic sums, Proc. Edinburgh
Math. Soc. (2) 17 (1971), 257-262.

Статья свободно скачивается с https://doi.org/10.1017/S0013091500026985

Спасибо!

[Sergic Primazon]

Alexander Evnin в сообщении #1251247 писал(а):

Пусть $x_1, x_2, \dots, x_5$ - положительные числа. Верно ли что всегда

$$\frac{x_1}{x_5+x_1+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_2+x_3}+\dots+\frac{x_5}{x_4+x_5+x_1}<2?$$

Легко доказать, что левая часть неравенства меньше $2\frac13$...

$$1< \dfrac {x_1}{x_n+x_1+x_2}+\dfrac {x_2}{x_1+x_2+x_3}+...+\dfrac {x_n}{x_{n-1}+x_n+x_1} < \left [ \dfrac {n}{2} \right]$$

1.

$$... > \dfrac {x_1}{x_1+x_2+...+x_n} +...\dfrac {x_n}{x_1+x_2+...+x_n}=1 $$

Нижняя граница достигается при: $\left (1, \dfrac {1}{t}, \dfrac {1}{t^2},...,\dfrac {1}{t^{n-1}}\right) \ , \ t \rightarrow \infty$

2.

$$ \dfrac {x_i}{x_{i-1}+x_i+x_{i-1}}+\dfrac {x_{i+1}}{x_i+x_{i+1}+x_{i+2}} <\dfrac {x_i}{x_i+x_{i+1}}+\dfrac {x_{i+1}}{x_i+x_{i+1}} =1$$

a. $n=2m$

Верхняя граница достигается: $(1, 0, 1, ..., 0)$

b. $n=2m+1$

Пусть $(x_{n-2}+x_{n-1}+x_n)=min(x_{i-1}+x_i+x_{i+1})$

$$\dfrac {x_{n-2}}{x_{n-3}+x_{n-2}+x_{n-1}}+ \dfrac {x_{n-1}}{x_{n-2}+x_{n-1}+x_n}+\dfrac {x_n}{x_{n-1}+x_n+x_1}\le \dfrac {x_{n-2}+x_{n-1}+x_n}{x_{n-2}+x_{n-1}+x_n}=1$$

Верхняя граница достигается: $(1, 0, 1, 0,..., 1, 0, 0)$

[sergei1961]

По поводу: само неравенство Шапиро в классическом варианте-оно полностью исследовано? Вроде считается, что да. Но там последние результаты для больших n вроде при помощи компьютера доказывались, проверить их крайне сложно и в части рассуждений без компьютера. Есть где-то такой анализ с окончательным диагнозом?

[Alexander Evnin]

Решение
Sergic Primazon для нечётного $n$ значительно проще, чем доказательство в статье DAYKINа!

-- 28.09.2017, 21:24 --

По поводу неравенства Шапиро см. http://olympiads.mccme.ru/lktg/2010/5/5-1ru.pdf

[sergei1961]

Alexander Evnin - спасибо за интересную ссылку.
Я когда-то пытался разобраться в статье [24], ссылка в указанной статье, где вроде содержится окончательное решение. Разобраться не смог, очень сложный текст, в любом случае, насколько я помню, он содержит обширные компьютерные вычисления, можно сомневаться, что это окончательное доказательство. Писал и самому Шапиро, он тогда работал где-то в Швеции кажется, он написал, что всё доказано и опять отослал к статьям автора [24], у того на самом деле не одна статья, а несколько.
Интересно, пытался ли кто-то ещё разобраться в этом неравенстве и его окончательном доказательстве.