Расчет сечения с помощью правил Фейнмана.

[watmann]

Здравствуйте,
решаю задачу по выведению сечения рассеяния для процесса: $e^{+}e^{-}\rightarrow \pi^{+} \pi^{-}$
В задании сказано скачала найти инвариантную амплитуду $\mathcal{M}$ для процесса: $e^{-}\pi^{-}\rightarrow e^{-} \pi^{-}$, а потом перевести $\mathcal{M}$ в нужную с помощью принципа кроссинга (principle of crossing).

Разберем случай $e^{-}\pi^{-}\rightarrow e^{-} \pi^{-}$.
Немного криво-нарисованная диаграмма Фейнмана со всеми импульсами:


Пользуясь правилами Фейнмана запишем амплитуду:
$\mathcal{M}=-e^2 \bar{u_{C}} \gamma^\mu u_{A} \frac{1}{q^2} (p_B+p_D)_\mu$

$|\mathcal{M}|^2=\frac{e^4}{q^4}[ \bar{u_{C}} \gamma^\mu u_{A}(p_B+p_D)^\mu][\bar{u_{C}} \gamma^\nu u_{A}(p_B+p_D)_\nu]^{*}=\frac{e^4}{q^4}[ \bar{u_{C}} \gamma^\mu u_{A} (\bar{u_{C}} \gamma^\nu u_{A})^{*}][(p_B+p_D)^\mu (p_B+p_D)^\nu]$

Находим среднее по спину:
$\bar{|\mathcal{M}|^2}=\frac{1}{(2s_A+1)}\sum_{s}|\mathcal{M}|^2=\frac{1}{2}\sum_{s}|\mathcal{M}|^2$

и берем во внимание $\sum_{s}[ \bar{u_{C}} \gamma^\mu u_{A} (\bar{u_{C}} \gamma^\nu u_{A})^{*}]=L^{\mu \nu}_{e}$

Используя "трюк Казимира" (http://scienceworld.wolfram.com/physics ... Trick.html):
$L^{\mu \nu}_{e}=4[p^\mu_Cp_A^\nu+p^\nu_C p^\mu_A+(m_e^2-p_C\cdotp_A)g^{\mu \nu}]$



$\bar{|\mathcal{M}|^2}=2\frac{e^4}{q^4}[p^\mu_Cp_A^\nu+p^\nu_C p^\mu_A+(m_e^2-p_C\cdot p_A)g^{\mu \nu}][p_{B\mu}p_{B\nu}+p_{D\mu}p_{D\nu}+p_{B\mu}p_{D\nu}+p_{D\mu}p_{B\nu}]=2\frac{e^4}{q^4}[(p_C\cdot p_B)(p_A\cdot p_B)+(p_C \cdot p_D)(p_A \cdot p_D)+ (p_C \cdot p_B)(p_A \cdot p_D) + (p_A \cdot p_B)(p_C \cdot p_D)+ (p_C \cdot p_B)(p_A \cdot p_B)+(p_C \cdot p_D)(p_A \cdot p_D)+(p_C \cdot p_D)(p_A \cdot p_B)+(p_C \cdot p_B)(p_A \cdot p_D)+m_e^2(p_B^2+p_D^2)+2m_e^2(p_B\cdot p_D)-(p_C \cdot p_A) (p_B^2+p_D^2)-2(p_C\cdot p_A)(p_B \cdot p_D)]$


$\bar{|\mathcal{M}|^2}=2\frac{e^4}{q^4}[2(p_C \cdot p_B)(p_A\cdot p_B)+2(p_C \cdot p_D)(p_A \cdot p_D)+ 2(p_C \cdot p_B)(p_A \cdot p_D)+2(p_A \cdot p_B)(p_C \cdot p_D)+m_e^2(p_B+p_D)^2-(p_C\cdot p_A)(p_B+p_D)^2]=2\frac{e^4}{q^4}[2[(p_C \cdot p_D)+(p_C \cdot p_B)][(p_A \cdot p_B )+(p_A \cdot p_D)]+m_e^2(p_B+p_D)^2-(p_C\cdot p_A)(p_B+p_D)^2]=2\frac{e^4}{q^4}[2p_C(p_D+p_B)p_A(p_D+p_B)+m_e^2(p_B+p_D)^2-(p_C\cdot p_A)(p_B+p_D)^2]=2\frac{e^4}{q^4}(p_B+p_D)^2[(p_C \cdot p_A)+m_e]$

Вопрос заключается в следующем. По логике моих преподавателей теперь я должна перейти к переменным Мандельштама.
В ультра-релятивистском приближении: $t\approx (p_C \cdot p_A)$, а вот что я должна делать с $(p_B+p_D)^2$ я не понимаю. Возможно где-то закралась ошибка которую я не вижу и я буду очень благодарна если вы мне поможете её найти.

Лера

[espe]

Может быть $(p_B+p_D)^2=(p_A+p_C)^2=s$?

[watmann]

Разве в этом случае $s=(p_1+p_2)^2=(p_A+p_B)^2=(p_C+p_D)^2 $?

[espe]

Был не внимателен. У вас все импульсы считаются входящими (исходящими)? Если да, то $(p_B+p_D)^2=(p_A+p_C)^2$ одна из переменных Мандельштама. Если нет, то здесь

watmann в сообщении #1250773 писал(а):

Пользуясь правилами Фейнмана запишем амплитуду:
$\mathcal{M}=-e^2 \bar{u_{C}} \gamma^\mu u_{A} \frac{1}{q^2} (p_B+p_D)_\mu$

должна стоять разность импульсов. Надо определиться какие импульсы входящие, а какие исходящие.

[watmann]

espe в сообщении #1251036 писал(а):

Был не внимателен. У вас все импульсы считаются входящими (исходящими)? Если да, то $(p_B+p_D)^2=(p_A+p_C)^2$ одна из переменных Мандельштама. Если нет, то здесь

watmann в сообщении #1250773 писал(а):

Пользуясь правилами Фейнмана запишем амплитуду:
$\mathcal{M}=-e^2 \bar{u_{C}} \gamma^\mu u_{A} \frac{1}{q^2} (p_B+p_D)_\mu$

должна стоять разность импульсов. Надо определиться какие импульсы входящие, а какие исходящие.

Я не очень понимаю термин входящие/исходящие импульсы, но предполагаю, что это означает в прямом смысле направление импульсов как бы в сторону взаимодействия и из него. Античастиц у меня тут нет (или я неправильно воспринимаю $\pi^{-}$), поэтому никаких сюрпризов с направлением импульса ждать не приходится, а значит $p_A, p_B $ - входящие, $p_C, p_D $ - исходящие.

На счет того + или -, я уверена что должна быть сумма. В нашей книге сказано, что для спин-0 частиц параметр вершины равен $iep^\mu$, где $p^\mu$ - сумма 4-импульсов до и после рассеивания.

[espe]

watmann в сообщении #1251307 писал(а):

Я не очень понимаю термин входящие/исходящие импульсы, но предполагаю, что это означает в прямом смысле направление импульсов как бы в сторону взаимодействия и из него.

Да.

watmann в сообщении #1251307 писал(а):

Античастиц у меня тут нет (или я неправильно воспринимаю $\pi^{-}$), поэтому никаких сюрпризов с направлением импульса ждать не приходится, а значит $p_A, p_B $ - входящие, $p_C, p_D $ - исходящие.

Направление импульсов никак не связано с частицами и античастицами.

watmann в сообщении #1251307 писал(а):

На счет того + или -, я уверена что должна быть сумма. В нашей книге сказано, что для спин-0 частиц параметр вершины равен $iep^\mu$, где $p^\mu$ - сумма 4-импульсов до и после рассеивания.

Можно узнать что за книга. В каждой вершине алгебраическая сумма всех импульсов (т.е. входящие со знаком плюс, выходящие со знаком минус) равна нулю. Либо имеется ввиду что-то другое.

[watmann]

Цитата:

Направление импульсов никак не связано с частицами и античастицами.

Ну я имею в виду, что у античастиц отрицательные импульсы. Я поэтому постоянно путаюсь в том как правильно его подставлять, суммировать и т.д.

Цитата:

Можно узнать что за книга. В каждой вершине алгебраическая сумма всех импульсов (т.е. входящие со знаком плюс, выходящие со знаком минус) равна нулю. Либо имеется ввиду что-то другое.

Это вообщем-то печатная версия наших лекций: https://www.nikhef.nl/~i93/Master/PP1/2 ... re2017.pdf.
Вот фото с абзацем про правила фейнмана для спин-0 частиц.


Здесь говориться что об сохранении импульсов заботится $\delta$-функция для каждой вершины. Однако, дальше говориться что по "договору" эта $\delta$-функция ($\delta^4(p_A+p_B-p_C-p_D)$) не входит в элемент $M$.

[espe]

Вычисления не проверял, надеюсь, что всё правильно. $(p_B+p_D)^2$ можно выразить через переменную Мандельштама $t=(p_B-p_D)^2$ и массы частиц $p_B^2=m_B^2$, $p_D^2=m_D^2$

$$(p_B+p_D)^2=2m_B^2+2m_D^2-t$$

.

[watmann]

Теперь когда я окончательно разобралась, оставлю тут совет на будущее другим студентам:
все соотношения $(p_j\cdot p_i)(p_k \cdot p_m)$ можно сразу записать через переменные Мандельштама, а потом уже сводить. Так намного удобнее и меньше вероятности где-то сделать ошибку в математике.