Условный экстремум

[kerz-3-06]

Дана функция

$$F=x*y*e^z$$

и условие

$$x^2+y^2=z^2+1$$

. Соответсвенно надо найти точки где есть условный экстремум.

Вначале составляем функцию Лагранжа, находим точки, которые могут быть экстремумом:
1.

$$(1,-1,-1) , (-1,1,-1) , \lambda = \frac 1 {2e}$$

2.

$$(1,1,-1) , (-1,-1,-1) , \lambda = -\frac 1 {2e}$$

Из каждого набора рассматриваем по одной точке. d^2F для этих точек получается неопределенной, переход к касательной плоскости тоже ничего не дает(получаются полуопределенные формы).
Что делать дальше?! Вроде как-то можно воспользоваться теоремой Вейерштрасса, хотя вроде в данном случае она не поможет.

[ИСН]

(Условие не читал, вернее, читал до середины первой строки.) Выкиньте нафиг $z$ и посчитайте "по-человечески", в лоб.

[kerz-3-06]

Выкинуть, выразив из условия связи?! выражается-то не особо хорошо..

[ИСН]

Да, имел в виду это. Но я же говорю, не читал условие. Смотрю... да, действительно, некрасиво. Ой, ну какая разница, разве нет таких координат, в которых будет красиво? Есть такие координаты: цилиндрические, $(r,\varphi,z)$. Выкинуть $r$.

[kerz-3-06]

а решение не в лоб есть?!
или как переписать наши уравнения в цилиндических координатах?!

[Laplase]

А может бесконечнось??? [{\it Float}(\infty ),[z= 65199260664355217400.0,x= 53613694192015081600.0,y= 53613694191937110000.0]]

[kerz-3-06]

чтО?

[Профессор Снэйп]

kerz-3-06 писал(а):

а решение не в лоб есть?!
или как переписать наши уравнения в цилиндических координатах?!

$x = r \cos \varphi$, $y = r \sin \varphi$. Получаем

$$F = \frac{r^2 \sin 2\varphi}{2} e^z,$$

условие переписывается в виде $r^2 = z^2+1$. После подстановки условия в выражение для $F$ имеем

$$ F = \frac{(z^2+1) \sin 2\varphi}{2} e^z $$

Добавлено спустя 15 минут 23 секунды:

Только я что-то не понял, откуда там какие-то экстремумы возьмутся. Функция $(z^2+1)e^z$ монотонно возрастает (несмотря на то, что её производная имеет корень в точке $z=-1$), так что при $\sin 2\varphi \neq 0$ экстремума быть не может. А если $\sin 2\varphi = 0$, то экстремума тоже нет, поскольку в этом случае $\partial F/\partial \varphi \neq 0$.

[kerz-3-06]

При переходе к таким координатам в точках соответсвующих точкам

$$(1,-1,-1) , (1,1,-1) $$

d^2F все равно получается полуопределенной, то есть ответа нам это все равно не даст.

А почему функция $(z^2+1)e^z$ возрастает?! вроде это не верно..

[Профессор Снэйп]

kerz-3-06 писал(а):

При переходе к таким координатам в точках соответсвующих точкам

$$(1,-1,-1) , (1,1,-1) $$

d^2F все равно получается полуопределенной

Ну, не знаю, что там у Вас за полуопределённости, перенедоопределённости и прочие влюблённости... По моему экстремум --- это когда либо локальный минимум, либо локальный максимум (то есть минимум или максимум в некоторой окрестности). Я Вам показал, что локальных минимумов и максимумов у указанной Вами функции на указанном Вами многообразии нет.

kerz-3-06 писал(а):

А почему функция $(z^2+1)e^z$ возрастает?! вроде это не верно..

А что же тогда верно?

[kerz-3-06]

Да, с возрастанием я ошибся. А почему при домножении на синус экстремум появиться не может?!

[Профессор Снэйп]

kerz-3-06 писал(а):

Да, с возрастанием я ошибся. А почему при домножении на синус экстремум появиться не может?!

Потому что $(z^2+1)e^z > 0$ при любом действительном $z$.

[kerz-3-06]

а это как-нибудь ссылается на теорию!? если да, то можно узнать на какую?

[Профессор Снэйп]

Что "ссылается на теорию"?

Вам непонятно, почему неравенство $(z^2+1)e^z > 0$ верно при всех действительных $z$? Или непонятно, как из этого неравенства следует, что у функции $F$ нет экстремумов? Или всё это понятно, но непонятно, как называется теория, которая эти вещи изучает?

[kerz-3-06]

почему неравенство-то верно понять не сложно. не ясно как из этого следует отсутствие экстремумов?!