Делимость на 1979

[CliniqueHappy]

$\frac{p}{q}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...+...-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}$Докажите, что p делится на 1979 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 8}+....+\frac{1}{1317\cdot 1318}+\frac{1}{1319}$
Тогда $\frac{1319\cdot a+1318!}{1979}$На 1979 будет делится напр. $1318\cdot 3+4$Как тут лучше доказать делимость?

[Aritaborian]

(ТеХническое)

Умножение обозначается с помощью \cdot или \times, но не звёздочкой.

[CliniqueHappy]

Что, никто не подскажет как быть?

[RIP]

Воспользуйтесь тождеством

\[\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dotsb-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{2n+1}\right)-\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{n}\right)\]

и тем, что числитель дроби $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{p-1}$ делится на $p$ при простом $p>2$.

[CliniqueHappy]

RIP в сообщении #1250733 писал(а):

Воспользуйтесь тождеством

\[\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dotsb-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{2n+1}\right)-\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{n}\right)\]

и тем, что числитель дроби $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{p-1}$ делится на $p$ при простом $p>2$.

Не понятно $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{2n}$ Числитель этого выражения будет делится на 1319. $1319a+1$ должно делится на 1979.

[Sonic86]

Где-то была эта задача здесь, но не смог найти
сумма в общем случае $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...\pm \frac{1}{\left[\frac{2p}{3}\right]}\equiv 0\pmod p$
У Серпинского была что-ли, не помню

[CliniqueHappy]

Sonic86 в сообщении #1250811 писал(а):

Где-то была эта задача здесь, но не смог найти
сумма в общем случае $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...\pm \left[\frac{2p}{3}\right]\equiv 0\pmod p$
У Серпинского была что-ли, не помню

Вроде нету просмотрел там задачи.

Цитата:

Воспользуйтесь тождеством

\[\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dotsb-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{2n+1}\right)-\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{n}\right)\]

и тем, что числитель дроби $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\dotsb+\frac{1}{p-1}$ делится на $p$ при простом $p>2$.

Для начала наверное попытаться доказать $\frac{(659+2)(659+3)...2\times659+(659+1)(659+3)...2\times659+(659+1)...(2\times659-1)}{1319}$

[Sonic86]

Слушайте, а Вам же RIP уже все фактически решил, что Вы страдаете?

CliniqueHappy в сообщении #1250775 писал(а):

Не понятно $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+..+\frac{1}{2n}$

Непонятен Ваш вопрос можете поподробнее спросить? У Вас не получается доказать тождество? Если да, то попробуйте по индукции например, хотя оно очевидно.

CliniqueHappy в сообщении #1251027 писал(а):

Для начала наверное попытаться доказать $\frac{(659+2)(659+3)...2\times659+(659+1)(659+3)...2\times659+(659+1)...(2\times659-1)}{1319}$

Тоже не понимаю. Доказывают высказывания, а не термы.

CliniqueHappy в сообщении #1250775 писал(а):

Числитель этого выражения будет делится на 1319

А зачем Вам делимость на какое-то другое простое число чем $1979$? Она же Вам сразу понятно что не поможет.

[RIP]

CliniqueHappy
Не пытайтесь привести сразу все дроби к одному знаменателю. Вместо этого разбейте все слагаемые на группы (по два человека) так, чтобы в каждой группе после сложения числитель делился на 1979 (конечно, после этого ещё нужно доказать, что отсюда следует требуемое).

[CliniqueHappy]

RIP в сообщении #1251069 писал(а):

CliniqueHappy
Не пытайтесь привести сразу все дроби к одному знаменателю. Вместо этого разбейте все слагаемые на группы (по два человека) так, чтобы в каждой группе после сложения числитель делился на 1979 (конечно, после этого ещё нужно доказать, что отсюда следует требуемое).

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}$ $n=659$
Спасибо.Я в начале пробовал разбить исходное выражение таким образом.Ничего не получилось.Поэтому забил на это)

[Sonic86]

CliniqueHappy в сообщении #1251267 писал(а):

Я в начале пробовал разбить исходное выражение таким образом.Ничего не получилось.

Покажите, что конкретно не получилось.

[CliniqueHappy]

Sonic86 в сообщении #1251281 писал(а):

CliniqueHappy в сообщении #1251267 писал(а):

Я в начале пробовал разбить исходное выражение таким образом.Ничего не получилось.

Покажите, что конкретно не получилось.

Вы не так поняли. Когда начал решать задачу,первым делом пробовал найти суммы из двух чисел сразу в исходной формулировке задачи ничего не вышло,пришел к ошибочному выводу, что нужно решать, через приведение к общему знаменателю всех слагаемых и так на этом "зациклился", что ошибочно перенес этот шаблон на равенство которое написал RIP. Теперь-то понятно как решать.