2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задачка по электростатике
Сообщение23.02.2008, 11:47 
Аватара пользователя
Помогите решить пожалуйста :( :

Объёмная плотность заряда равномерно заряженного шара радиусом R = 10 cм, изготовленного из диэлектрика с относительной проницаемостью $\varepsilon = 2$, равна $\rho = 10^{-8}$ Кл/см$^{3}$. Найти потенциалы электростатического поля $\phi_0$ в центре шара и $\phi_1$ на расстоянии r = 9 см от центра шара.

 
 
 
 
Сообщение23.02.2008, 12:14 
Аватара пользователя
Найти напряженность поля вне шара можно c помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Надо окружить шар некоторой поверхностью (наиболее удобно сферической) и искать поток вектора электрического поля через эту поверхность. Поток, согласно т. Остроградского-Гаусса, равен числу зарядов, заключенных внутри поверхности. Из равенства потока числу зарядов выразите напряженноcть поля. Из напряженности найдете потенциал. Потенциал в центре сферы равен нулю, поскольку поле там тоже равно нулю по соображениям симметрии.

 
 
 
 
Сообщение23.02.2008, 13:15 
Аватара пользователя
Есть два способа найти потенциал:

1. Восспользоватся теоремой Остроградского-Гаусса как предлагает Freude и восспользоватся связью напряженности и потенциала $\vec E =  - \nabla \phi $.

Freude писал(а):
Найти напряженность поля вне шара можно c помощью теоремы Остроградского-Гаусса.


С помощью этой теоремы можно найти и напряженность поля внутри шара, в условии сказанно на растоянии $r=9 \text{см}$, а радиус шара $R=10 \text{см}$. :wink:

2. Восспользоватся уравнением Пуассона: $\nabla ^2 \phi  =  - \frac{\rho }{{\varepsilon \varepsilon _0 }}$, где $\nabla ^2 $ - лапласиан, который лучше записать в сферической системе координат.

Добавлено спустя 9 минут 44 секунды:

Забыл сообщить: два спобобы - суть один, разница лишь техническая.

 
 
 
 
Сообщение23.02.2008, 19:59 
Аватара пользователя
Как найти потенциал в центре шара?

В ответе:

$\phi_0=\frac{\rho}{6\varepsilon_0\varepsilon}R^2(2\varepsilon+1)$

 
 
 
 
Сообщение23.02.2008, 20:03 
Аватара пользователя
Евгеша писал(а):
Как найти потенциал в центре шара?


Я же указал два способа. Принтегрируйте, например, уравнение Пуассона. Что у вас получится?

 
 
 
 
Сообщение23.02.2008, 20:26 
Аватара пользователя
Ну у меня получилось $\phi(r)=-\frac{\rho r^2}{6\varepsilon_0\varepsilon}$

 
 
 
 
Сообщение23.02.2008, 20:48 
Аватара пользователя
Неверно, конечно же. Нужно учесть граничные условия. Запишите пока общее решение уравнения.

Добавлено спустя 6 минут 9 секунд:

И проанализируем это общее решение

 
 
 
 
Сообщение23.02.2008, 21:12 
Аватара пользователя
1м способом:

$\overrightarrow{E}=\frac{\rho r}{3\varepsilon\varepsilon_0}$
$\overrightarrow{E}=-\nabla\phi$
$\nabla\phi=\frac{d\phi}{dr}$
$d\phi=-\overrightarrow{E}dr$
$\phi=\int d\phi=-\int \overrightarrow{E}dr=-\int \frac{\rho r}{3\varepsilon\varepsilon_0}dr=-\frac{\rho r^2}{6\varepsilon\varepsilon_0}$

 
 
 
 
Сообщение23.02.2008, 21:23 
Аватара пользователя
ИЗВИНИТЕ. Правильно поле нашли!!!
Неверно исспользовали связь напряженности и потенциала.

 
 
 
 
Сообщение23.02.2008, 21:38 
Аватара пользователя
А как её использовать?

 
 
 
 
Сообщение23.02.2008, 21:49 
Аватара пользователя
Вы забыли прибавить константу интегрирования, а она находится из граничных условий

Добавлено спустя 4 минуты 25 секунд:

Вспомните, что $\phi (R) = \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0 R}}$

 
 
 
 
Сообщение23.02.2008, 22:30 
Аватара пользователя
Всё получилось! :D
Спасибо огромнейшее!

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group