2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тождество со значениями производной в корнях многочлена
Сообщение21.09.2017, 01:40 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5328
Пусть $f(x)$ - унитарный многочлен степени $n$ имеющий $n$ различных корней: $a_1,\dots,a_n$. Докажите, что
$$\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{n-1}}{f'(a_i)} = 1.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество со значениями производной в корнях многочлена
Сообщение21.09.2017, 03:42 
Заслуженный участник


04/03/09
833
Старший коэффициент, видимо, полагается равным 1.
Лемма. $\displaystyle f'(a_i) = \frac{(-1)^{i-1} V_n(a_1,...,a_n)}{V_{n-1}(a_1,..,a_{i-1},a_{i+1},..,a_n)}$, где $V$ - определитель Вандермонда.
Доказательство.
$\displaystyle f(x) = \prod_{j=1}^n (x-a_j) \Rightarrow f'(a_i) = \prod_{\substack{j=1\\j\ne i}}^n (a_i-a_j)$

$\displaystyle \frac{(-1)^{i-1} V_n(a_1,...,a_n)}{V_{n-1}(a_1,..,a_{i-1},a_{i+1},..,a_n)} = \frac{(-1)^{i-1} \prod\limits _{1 \le j < k \le n} (a_j-a_k)}{\prod\limits _{\substack{1 \le j < k \le n \\ i \neq j, i \neq k }} (a_j-a_k)} =$

$\displaystyle = (-1)^{i-1} \prod_{j=1}^{i-1}(a_j-a_i) \cdot \prod_{j=i+1}^{n}(a_i-a_j) = \prod_{j=1}^{i-1}(a_i-a_j) \cdot \prod_{j=i+1}^{n}(a_i-a_j) = $

$\displaystyle = \prod_{\substack{j=1\\j\ne i}}^n (a_i-a_j) = f'(a_i)$

Теперь основное утверждение.

$\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{a_i^{n-1}}{f'(a_i)} = \sum_{i=1}^n \frac{a_i^{n-1} (-1)^{i-1} V_{n-1}(a_1,..,a_{i-1},a_{i+1},..,a_n)}{V_n(a_1,...,a_n)} = 1$, т.к. сумма в числителе - это разложение определителя в знаменателе по последнему столбцу.
Ой чую, я тут сильно переусложнил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество со значениями производной в корнях многочлена
Сообщение21.09.2017, 04:11 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5328
12d3 в сообщении #1249390 писал(а):
Старший коэффициент, видимо, полагается равным 1.

Да, конечно. Исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество со значениями производной в корнях многочлена
Сообщение21.09.2017, 08:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4637
Нов-ск
Симметричная формула для разделенной разности $(n-1)$-го порядка для функуции $g(x)$, затем связь разделенной разности с производной:
$$
g(a_1, \dots , a_n)=\sum_{i=1}^n \dfrac{g(a_i)}{\displaystyle \prod_{k=1, k \neq i}^{n}(a_i - a_k)}=
\dfrac{g^{(n-1)}(t)}{(n-1)!}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество со значениями производной в корнях многочлена
Сообщение21.09.2017, 13:16 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5328
TOTAL, что-то странное с вашей формулой: у $g$ скачет количество аргументов, и $t$ появляется только в последнем выражении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество со значениями производной в корнях многочлена
Сообщение21.09.2017, 23:38 
Заслуженный участник


10/01/16
1711
Вычет на бесконечности для $\frac{z^{n-1}}{f(z)}$ равен -1, а в полюсах $a_j$ равен Вашим слагаемым. По теореме о полной сумме вычетов имеем требуемое...

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество со значениями производной в корнях многочлена
Сообщение25.09.2017, 07:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4637
Нов-ск
maxal в сообщении #1249454 писал(а):
TOTAL, что-то странное с вашей формулой: у $g$ скачет количество аргументов, и $t$ появляется только в последнем выражении.

$g(a_1, \dots , a_n)$ - так обозначается разделенная разность $(n-1)$-го порядка для функуции $g(x)$ по узлам $a_1, \dots , a_n$.
$g^{(n-1)}(t)}$ - значение $(n-1)$-й производной в какой-то точке между крайними из этих узлов.

В частном случае (разделенная разность первого порядка) известная формула
$$
g(a_1,a_2) = \dfrac{g(a_1)-g(a_2)}{a_1-a_2}=\dfrac  {g^{(1)}(t)}   {1!}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество со значениями производной в корнях многочлена
Сообщение14.06.2018, 20:26 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5328
maxal в сообщении #1249363 писал(а):
Пусть $f(x)$ - унитарный многочлен степени $n$ имеющий $n$ различных корней: $a_1,\dots,a_n$. Докажите, что
$$\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{n-1}}{f'(a_i)} = 1.$$

Задачка оказалась богатой на подходы к решению. Добавлю в копилку решений ещё одно.

Без потери общности будем считать, что все $a_i$ отличны от нуля (в противном случае задача сводится к рассмотрению многочлена $f(x)/x$). Рассмотрим многочлен:
$$g(x) := \sum_{i=1} a_i^n \frac{f(x)}{(x-a_i)f'(a_i)}.$$
Нетрудно понять, что это по сути интерполяционный многочлен Лагранжа с точками интерполяции $g(a_i) = a_i^n$ ($i=1,2,\dots,n$). Степень $g(x)$ не превосходит $n-1$. Но такую же степень и те же интерполяционные значения имеет многочлен $x^n - f(x)$, а значит $g(x) = x^n - f(x)$. Остается только подставить $x=0$ и сократить на $-f(0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тождество со значениями производной в корнях многочлена
Сообщение16.06.2018, 22:17 
Заслуженный участник


11/05/08
31509
TOTAL в сообщении #1249402 писал(а):
Симметричная формула для разделенной разности $(n-1)$-го порядка для функуции $g(x)$, затем связь разделенной разности с производной:
$$
g(a_1, \dots , a_n)=\sum_{i=1}^n \dfrac{g(a_i)}{\displaystyle \prod_{k=1, k \neq i}^{n}(a_i - a_k)}=
\dfrac{g^{(n-1)}(t)}{(n-1)!}
$$

Тут, как мне кажется, тоже некоторая избыточность. При естественном порядке изложения старшая разделённая разность -- это старший коэффициент соответствующего интерполяционного многочлена. В данном случае совпадающего с исходным, разумеется. А вот про обобщение теоремы Лагранжа -- это уже следующий факт, и совсем заранее не очевидный (хотя и простой).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group