Проврка рядов на сходимость

[Infer57]

Здравствуйте. Возникли вопросы при проверке рядов на сходимость. Помогите, пожалуйста, разобраться:
1) Нужно проверить ряд $a_{n} = \ln\frac{n+3}{n^2+4}$ на сходимость, получив асимптотическую формулу вида
${a}_{n} \sim \frac{c}{n^\alpha}$
Я провел ряд замен на эквивалентные функции:
$a_{n} = \ln\frac{n+3}{n^2+4} \sim \ln\frac{n}{n^2} \sim \ln\frac{1}{n}$
А дальше решил сравнить получившееся с $\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{n}$
Т.к. предел $\lim\limits_{n}^{\infty}\frac{\frar{1}{n}}{\ln\frac{1}{n}} = 0$, то получается, что если расходится
$\sum\limits_{1}^{n}\frac{1}{n}$, как гармонический, то и расходится исходный ряд.
Проверьте, пожалуйста, на правильность.
P.S. Проверял, используя интегральный признак Коши, и получилось, что ряд также расходится. Но по заданию нужно проверить, найдя асимптотическую функцию, а в том решении сомневаюсь.

2) Задание тоже, но только теперь проверяется ряд
$a_{n} = (1-\frac{\ln{n}}{n})^{2n}$
Тут идей нет вообще никаких, кроме того, что $\frac{\ln{n}}{n} \sim \frac{1}{n}$,
т.к. $\ln{n}$ растет медленнее, чем $n$. Подскажите и направьте, пожалуйста.

3)Нужно найти такие значения $\alpha$, при которых ряд сходится:
$a_{n} = (1-n\sin\frac{1}{n})^{\alpha}$.
Тут опять же не густо с идеями. Только лишь решил вынести $n$:
$n^{\alpha}(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n})^{\alpha}$.
Подскажите, пожалуйста, как и куда двигаться.

[mihaild]

Infer57 в сообщении #1248750 писал(а):

Т.к. предел $\lim\limits_{n}^{\infty}\frac{\frar{1}{n}}{\ln\frac{1}{n}} = 0$, то получается, что если расходится

Не очень понятно, что тут написано (кстати, предел пишется как $\lim\limits_{n \to \infty}$).

Infer57 в сообщении #1248750 писал(а):

получив асимптотическую формулу вида
${a}_{n} \sim \frac{c}{n^\alpha}$

Не получится. Общий член этого ряда не эквивалентен никакой постоянной степени.

Вообще, чтобы понять, что этот ряд расходится, его не надо ни с чем сравнивать, достаточно вспомнить необходимое условие сходимости.

Infer57 в сообщении #1248750 писал(а):

$\frac{\ln{n}}{n} \sim \frac{1}{n}$,

Это неправда. Напишите, пожалуйста, определение $\sim$. И попробуйте вспомнить, что вы делали, когда нужно было найти предел вида $\lim\limits_{n \to \infty}(1 + x_n)^n$.
С последним пунктом аналогично.

[Infer57]

Цитата:

Не очень понятно, что тут написано

Извиняюсь, просмотрел. Я имел ввиду:

$$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\ln{\frac{1}{n}}}=0 $$

Цитата:

чтобы понять, что этот ряд расходится, его не надо ни с чем сравнивать

Я бы и не сравнивал, но именно так в задании написано сделать.

По последнему, чтобы найти такой предел, я применял логарифмирование и получал:
$e^{\lim\limits_{n \to \infty}n\ln(1+x_{n})}$

Но что-то всё никак не дойдет, что делать нужно

[provincialka]

Infer57 в сообщении #1248750 писал(а):

получив асимптотическую формулу вида

Задание странное, но, может, скомбинируете его с другим признаком? Например, сравнения, но только с использованием неравенства:
$a_{n} = \ln\frac{n+3}{n^2+4}>\frac{n+3}{n^2+4}\sim \frac{1}{n}$

-- 18.09.2017, 23:04 --

Infer57 в сообщении #1248750 писал(а):

Я провел ряд замен на эквивалентные функции: $a_{n} = \ln\frac{n+3}{n^2+4} \sim \ln\frac{n}{n^2} \sim ...$

А вы проверяли это соотношение? Похоже, вы просто заменили функцию под логарифмом на эквивалетную...
(Я не имею в виду, что это соотношение неверное... просто интересуюсь, знаете ли вы, как его доказывать?)

[Infer57]

Цитата:

А вы проверяли это соотношение?

Когда заменял, то руководствовался тем, что $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n+3}{n} = 1$ и аналогично со знаменателем.

Цитата:

Например, сравнения, но только с использованием неравенства

Я, вероятно, неправильно сформулировал в первом сообщении, но в общем-то это я имел ввиду
($\ln\frac{1}{n} > \frac{1}{n}$, т.к. предел отношения второго к первому 0 (не уверен верно ли))

И что же всё-таки делать со (2) и (3), никак не могу сообразить

[mihaild]

provincialka в сообщении #1248783 писал(а):

$\ln\frac{n+3}{n^2+4}>\frac{n+3}{n^2+4}$

На бесконечности левая часть отрицательна, а правая положительна, так что с неравенством что-то не так...

Infer57 в сообщении #1248787 писал(а):

Когда заменял, то руководствовался тем, что $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n+3}{n} = 1$ и аналогично со знаменателем.

Просто так везде где хочется переходить к пределу нельзя. Например, в $\lim \frac{1}{n} \cdot n$ нельзя сначала перейти к пределу в дроби, а потом в том что получится. Лучше честно расписать асимптотики (указывая остаточный член в терминах $o$ или $O$).

Infer57 в сообщении #1248787 писал(а):

И что же всё-таки делать со (2) и (3), никак не могу сообразить

Заменить что-нибудь на нужное количество членов разложения в ряд Тейлора (не забывая про остаток - его можно будет выкинуть только в самом конце).

[provincialka]

mihaild в сообщении #1248790 писал(а):

На бесконечности левая часть отрицательна, а правая положительна, так что с неравенством что-то не так...

О! Спасибо ! Поторопилась...

-- 19.09.2017, 00:42 --

Тут вообще необходимое условие не выполняется!

-- 19.09.2017, 00:46 --

$a_{n} = \ln\frac{n+3}{n^2+4} = -\ln\frac{n^2+4}{n+3} $, что стремится к бесконечости. Кстати, тут особенно хорошо заметно, что $\ln \frac1n$ не эквивалентен $1/n$. Он даже не туда стремится!

[ewert]

Infer57 в сообщении #1248750 писал(а):

2) Задание тоже, но только теперь проверяется ряд
$a_{n} = (1-\frac{\ln{n}}{n})^{2n}$
Тут идей нет вообще никаких, кроме

Это -- совершенно шаблонная задача: $(1-\frac{\ln{n}}{n})^{2n}=\left[(1-\frac{\ln{n}}{n})^{\frac{n}{\ln n}}\right]^{2\ln n}$, после чего всё очевидно (ну разве что корректность предельного перехода надо аккуратно обосновать).

Infer57 в сообщении #1248750 писал(а):

3)Нужно найти такие значения $\alpha$, при которых ряд сходится:
$a_{n} = (1-n\sin\frac{1}{n})^{\alpha}$.

А вот тут -- да, без Тейлора действительно никак. Зато с Тейлором всё опять же очевидно (с точностью опять же до формальностей).