Теория категорий и равенство морфизмов

[sigsergv]

Рассмотрим определение категории, именно абстрактное, без привязки к чему бы то ни было. В попытке его понять возникает вопрос о смысле знака равенства в выражениях.

Например, в самом первом определении (ассоциативности):

 $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$

Что здесь (буквально) означает знак равенства? Хочется понять это без отсылок к примерам из теории множеств или к другим популярным категориям. Морфизмы в левой и правой части одинаковые именно как сущности класса морфизмов категории? Как «равные» морфизмы при «проецировании» на реальные объекты категории? Оба предыдущих пункта? Но что вообще означает «одинаковые» для абстрактных морфизмов?

Просто из аксиом можно сделать такой вывод о смысле знака равенства, точнее, определить его на основе следующих выражений (при условии, что морфизмы определены как $f : A \to B; g : C \to A; h : D \to C$):

• $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$
• $f \circ 1_A = f$
• $1_B \circ f = f$

Всё! Есть только три символьные формулы, каким-то магическим образом определяющие «равенство».

[arseniiv]

sigsergv в сообщении #1247981 писал(а):

Но что вообще означает «одинаковые» для абстрактных морфизмов?

Возьмём контекст проще: аксиоматика группы. Что означает «одинаковые» для абстрактных элементов группы?

-- Сб сен 16, 2017 01:25:43 --

sigsergv в сообщении #1247981 писал(а):

Всё! Есть только три символьные формулы, каким-то магическим образом определяющие «равенство».

Можно было бы так говорить, но обычно такое больше смысла говорить об остальных символах кроме равенства, потому что подразумевается, что равенство и подстановка вполне конкретным образом связаны. Например, пусть $f = g\circ h$. Тогда вы совершенно точно знаете, что $x\circ f = x\circ(g\circ h)$ и что если $f$ обладает каким-то свойством, то и $g\circ h$ им обладает. Это не следствия каких-нибудь собственных аксиом теории категорий, это следствие (схем) аксиом конкретно равенства:
(1) рефлексивность: $x = x$;
(2) подстановка в термы: $x = y\to t[x/z] = t[y/z]$;
(3) подстановка в формулы: $x = y\wedge\varphi[x/z]\to \varphi[y/z]$;
$x, y, z$ — переменные, $t$ — терм, $\varphi$ — формула.

(В любой конкретной теории можно ограничить термы и формулы схем (2) и (3) атомарными, ничего не испортив, но это уже немного оффтоп. Также будет им, видимо, замечание, что если формализовать теорию категорий как двусортную (термы-объекты и термы-морфизмы), будет наложено естественное ограничение на подстановку терма вместо переменной, когда их сорта не совпадают. И вообще я не уверен, что вы готовы к такому низкоуровневому обсуждению. Но подобные вопросы о равенстве его почти требуют.)

[sigsergv]

Цитата:

Возьмём контекст проще: аксиоматика группы. Что означает «одинаковые» для абстрактных элементов группы?

С группами всё вроде бы понятно, там в самом определении по сути вводится «равенство», что $ab$ является неким другим элементом $c$, что по сути эквивалентно $ab = c$. И тогда с категориями тоже становится понятнее, если их как моноиды рассматривать, тогда всё равенство можно через композиции разбить атомарные аксиомы $f \circ g = h$.

Я вот про группы совсем не подумал, спасибо. Теперь существенно более понятно, чем раньше.

[arseniiv]

Хм, странно. На самом деле в теории групп «основные свойства равенства», если их можно так назвать, тоже «поставляются» аксиомами равенства (1—3), из собственных аксиом группы они никак не выводятся.

sigsergv в сообщении #1248158 писал(а):

И тогда с категориями тоже становится понятнее, если их как моноиды рассматривать

Только аккуратнее. Моноид действительно можно определить как категорию с одним объектом, а вот произвольную категорию определить как какой-то моноид не получится — именно из-за того, что композиция не любой пары морфизмов определена.

[sigsergv]

Цитата:

Хм, странно. На самом деле в теории групп «основные свойства равенства», если их можно так назвать, тоже «поставляются» аксиомами равенства (1—3), из собственных аксиом группы они никак не выводятся.

Ну, для групп равенство определено естественным образом из аксиом группы, это просто совпадение элементов, прямое следствие из аксиомы замкнутости. То есть = — это буквально «один и тот же элемент».

Цитата:

Только аккуратнее. Моноид действительно можно определить как категорию с одним объектом, а вот произвольную категорию определить как какой-то моноид не получится — именно из-за того, что композиция не любой пары морфизмов определена.

Да, я перегнул с моноидом, я просто имел в виду, что если морфизмы можно умножить, то этот результат тоже морфизм.

[arseniiv]

sigsergv в сообщении #1248209 писал(а):

Ну, для групп равенство определено естественным образом из аксиом группы, это просто совпадение элементов, прямое следствие из аксиомы замкнутости.

Не, это не те аксиомы, которые я имел в виду. Когда мы находимся в рамках теории множеств, тогда да, мы можем сказать «группа — это такая $(G,*)$, что $*\colon G\times G\to G$ (замкнутость), $\forall a,b,c\in G\;((a*b)*c = a*(b*c))$ и т. д.», и свойства $=$ «унаследуются» от теории множеств* (и замкнутость тут ни при чём), а если определять это просто как формальную теорию, аксиома замкнутости там, во-первых, будет избыточной, и, во-вторых, аксиомы равенства туда должны входить.

* Если это формальная теория типа ZFC, то эти свойства, опять же, выражаются упомянутыми аксиомами равенства (хотя там ещё можно избавиться от аксиомы рефлексивности, потому что аксиома экстенсиональности позволяет её вывести). Если неформальная, свойства тоже описываются, понятное дело, неформально, в виде принципа Лейбница — две вещи равны тогда и только тогда, когда они обладают одинаковыми свойствами. И вот упомянутые аксиомы равенства в теориях первого порядка выражают часть «только тогда», оставшуюся независимо от конкретной теории выразить не получится — это делают собственные аксиомы, содержащие $=$.