Так вот, насколько я понимаю математика лишь прикладная наука. По сути она возникла из потребности человека объяснить происходящее, т.е. физику.
Я понимаю термин «прикладная наука» по-другому. Но не буду углубляться, потому что это не существенно.
Поскольку истина по физике - это значит теория: а) не противоречащая самой себе и б) не противоречащая эксперименту. Для математики понятия эксперимента, насколько я понимаю не существует, т.е. математическая теория ограничивается только непротиворечивостью самой себе. Значит понятие фальсифицируемости для математики не имеет смысла. Можно ли тогда вообще относить математику к науке?
Вопрос на самом деле популярный, и есть популярный ответ, который вы уже озвучили. Для начала, под наукой вы подразумеваете естественные (эмпирические, экспериментальные) науки: физика, химия, биология. (Кстати, AFAIK, в английском science обычно означает естественные науки).
Популярный ответ гласит: да, математика радикально отличается от естественных наук критерием истинности. В математике истинно то, что доказано; в естественных науках истинно то, что согласуется с экспериментом. Из этого следует то, что вы сказали. Кстати, этот ответ нравится людям, который видят математику как «чистую» науку, то есть не требующую приложений (применений). Помню, как они возмущались на одном форуме, когда я предложил другой ответ, который привожу дальше.
Я могу дать другой ответ. Вспомним, что значит согласовываться с экспериментом. Физические постулаты согласуются с экспериментом, если предсказание, выведенные из этих постулатов, совпадает с результатом эксперимента. В этом определении опущена важная в текущем контексте деталь: предсказание выводится из постулатов с помощью правил математики. Даже школьник при решении физических задач использует алгебру, геометрию и анализ. Даже для примитивного правила рычага нужна математика, потому что на глаз трудно предсказать. Следовательно, если предсказание совпадает с результатом эксперимента, то постулаты физики и
правила математики согласуются с экспериментом. Правила математики — это теоремы, хотя школьник или инженер может не знать их доказательства. Теоремы доказаны с помощью правил логики. Аналогично получаем, что эксперименты подтверждают правильность правил логики. Таким образом, все эксперименты всех естественных наук, которые используют математику, подтверждают правильность математики. Математика косвенно экспериментальна, так сказать. Эту мысль можно развивать дальше, придираться к разным аспектам, но на один пост достаточно.
Математика связана с физикой так же, как с другими естественными науками, то есть так, как я описал выше. Математика плотнее всего используется в физике. Кажется, Арнольд сказал, что математика — это теоретическая физика, а физика — это прикладная математика. Это потому, что физику легче всего перевести на математические рельсы, в физике результаты экспериментов легко повторяются. Есть поговорка, приписываемая Марри Гелл-Ману: «Представьте, насколько трудной была бы физика, если бы электроны умели думать». Науки о «думающих электронах», то есть о людях, социальные науки (например, экономическая теория, психология), переходят от болтологии к математике только в последнее время.
Так а с чего лучше "включаться", чтобы проще было "добраться" до всей "картины" в целом? С математической логики? С формальной логики? С теории множеств?
без теорем о полноте и неполноте, то есть для понимания математических теорий совершенно недостаточно
Если вы,
granit201z, не знакомы с формальной логикой вообще, исходя из своего опыта, я советую сделать паузу между изучением прикладной (практической) логики и теоретической. Вопрос оснований математики относится к теоретической логике. Чтобы понять, зачем что-то делается в теоретической логике, нужно иметь хоть немного практики. То есть по совету
Xaositect, современные книги для философов, опуская главы, где описываются теоремы. В книги для философов тоже вставляют эти теоремы, но без доказательств, потому что книга-то для философов.
