Анизотропный осциллятор,

[Asalex]

Здравствуйте!

Задан анизотропный осциллятор с лагранжианом

$$L=\frac12 m\sum\limits_{i=1}^3\dot{x}_j^2-\frac12\sum\limits_{i=1}^3k_jx_j^2.$$

Далее, на него дополнительно действует сила, которая заставляет частицу находится на сфере $\sum\limits_{j=1}^3x_j^2=r_0^2.$

Вопрос: каким образом записать уравнения Эйлера-Лагранжа, каким образом учесть эту принуждающую силу?

Я бы предположил таким образом: эффективный лагранжиан будет включать дополнительную обобщенную координату,
$L_{ef}(r,\dot{r},A)=L+A(|r|^2-|r_0|^2),$
соответственно в уравнениях Эйлера-Лагранжа будет одно дополнительное уравнение

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L_{ef}}{\partial \dot{x}_j}-\frac{\partial L_{ef}}{\partial x_j}=0, j=1,2,3,\qquad \frac{\partial L_{ef}}{\partial A}=0.$$

Далее, нужно ли учитывать силу тяжести, и если да, то как ее учитывать?

[Red_Herring]

Asalex в сообщении #1246970 писал(а):

Далее, нужно ли учитывать силу тяжести, и если да, то как ее учитывать?

Стоит ли учитывать силу тяжести--вопрос постановки задачи. Если хотите учесть, добавьте соответствующий потенциал;.

[Munin]

Asalex в сообщении #1246970 писал(а):

Далее, нужно ли учитывать силу тяжести, и если да, то как ее учитывать?

В условиях про неё ничего не сказано, скорее всего, нет. Да и куда бы вы её направили? Про координаты не сказано, которая из них вертикальная.

[Asalex]

Уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к следующему:

$$\ddot{x}_j + \frac{k_j-A}{m}x_j=0, j=1,2,3,\qquad x_1^2+x_2^2+x_3^2=r_0^2. $$

То есть

$$x_j(t) = C_1 \cos\left(\sqrt{\frac{k_j-A}{m}}\ t\right)+D_1 \sin\left(\sqrt{\frac{k_j-A}{m}}\ t\right), j=1,2,3,\qquad \textrm {и} \quad x_1^2+x_2^2+x_3^2=r_0^2.$$

Отсюда надо найти $A$. Я не могу понять как это сделать.

[arseniiv]

Сначала превратите $\alpha\cos\varphi + \beta\sin\varphi$ в $\gamma\cos(\varphi + \varphi_0)$ (можете развернуть правое по формуле косинуса суммы и неопределёнными коэффициентами найти, чему равны $\gamma$ и $\varphi_0$).