Метод неопределенных коэффициентов

[student1138]

Добрый день.
Начал разбирать метод неопределенных коэффициентов для разложения многочлена на элементарные симметрические многочлены. И встретил вот такой непонятный момент:


Как я понял определение $S(v)$: берется одночлен, выполняются все возможные перестановки переменных в нем, все полученные различные одночлены и будут составлять $S(v)$. Например, $S(X_1^5X_2) = X_1^5X_2 + X_2^5X_1$. В таком случае $S(X_1X_2...X_n)$ должно было бы равняться $X_1X_2...X_n$, а $S(X_1^n)$ по идее должно быть равно $X_1^n$

Однако дальше в местах подчеркнутых красным это не так ($s_k$ - это элементарный симметрический многочлен номер $k$).

Что я неправильно понимаю тут?

[arseniiv]

Имеется в виду перестановка вообще всех возможных переменных (если многочлен принадлежит $K[X_1,\ldots,X_n]$, то перестановки берутся множества $\{X_1,\ldots,X_n\}$). Таким образом $S(1) = 1$, $S(X_1) = X_1 + \ldots + X_n$, $S(X_1X_2) = \sum_{1\leqslant i<j\leqslant n} X_iX_j$ и так далее вплоть до $S(X_1\cdots X_n) = X_1\cdots X_n$.

-- Пн сен 11, 2017 14:09:36 --

Там даже дальше про то, что перестановка любая, намекается: «так как $S(v) = S(\sigma\circ v)$ для всех $\sigma\in S_n$».

[Sinoid]

student1138 в сообщении #1246946 писал(а):

$S(X_1^n)$ по идее должно быть равно $X_1^n$

Неправильно: степени при остальных переменных в $S(X_1^n)$ считаются равными нулю, так что в эту сумму входит по-любому не одно слагаемых (если число переменных больше 1).

[arseniiv]

Просто, как я понимаю, ТС решил, что берутся перестановки только переменных, какая-либо степень которых входит в какой-то одночлен, входящий с ненулевым коэффициентом. В таком случае у него всё бы получилось совершенно правильно.

[student1138]

Понятно. Тогда например если многочлен от трех переменных то получается так:
$S(X_1^2X_2) = X_1^2X_2 + X_1^2X_3 + X_2^2X_1 + X_2^2X_3 + X_3^2X_1 + X_3^2X_2$

$S(X_1X_2) = X_1X_2 + X_1X_3 + X_2X_3$

Т.е. берутся все различные одночлены. Правильно я понял?

[arseniiv]

Да.

Вообще, в принципе, если бы понадобилось, чтобы операция $S$ была ещё и линейной, её бы определили так, что нужно было бы складывать все результаты перестановок, а не только различные, но это просто бы умножало результат, полученный текущим образом, на какое-то число.

[student1138]

Продолжаю разбираться в этим методом. Теперь главное непонятное место следующее:


Хоть автор и пишет что мы уже это знаем, я все-равно не понимаю почему это так. По этому вопросу ранее было доказано (теорема 1) что при представлении многочлена в виде многочлена $g$ от элементарных симметрических многочленов, коэффициенты $g$ будут являться целочисленными линейными комбинациями коэффициентов исходного многочлена. Но я не могу связать это утверждение и подчеркнутое равенство.

[Sinoid]

Просто исходный многочлен представляется в виде суммы $s_{1}^{i_{1}-i_{2}}s_{2}^{i_{2}-i_{3}}\ldots s_{n}^{i_{n}}$ и внимание! Другого симметрического многочлена, высший член которого младше высшего члена исходного многочлена. По понятным причинам эта итерация конечна.

[student1138]

Кажется немного прояснилось. Итак, наша задача выразить симметрический многочлен $S(v)$ через элементарные симметрическе многочлены. Высший член $S(v)$ является монотонным и совпадает с высшим членом суммы $g_v = s_1^{i_1-i_2}...s_n^{i_n}$. Значит $S(v)$ может быть записан как сумма $g_v$ плюс "что-то еще". Но сумма симметрических многочленов тоже является симметрическим многочленом. Значит "что-то еще" - симметрическй многочлен и содержит монотонный высший член, который лексикографически меньше/ниже чем высший член $S(v)$ Для него можно повторить итерацию и опять представить в виде суммы многочленов вида $s_1^{j_1-j_2}...s_n^{j_n}$ и какого-то симметрического многочлена.

Таким образом получается почти то представление которое я на картинке подчеркнул. Только не пойму откуда там целые множители $n_w$ берутся. Еще не понимаю почему рассматриваются только одинаковые полные степени всех высших членов. В общем так мутновато но вроде бы частично начинаю понимать.

[Sinoid]

student1138 в сообщении #1247586 писал(а):

Только не пойму откуда там целые множители $n_w$ берутся

Я это там не увидел.

student1138 в сообщении #1247586 писал(а):

Еще не понимаю почему рассматриваются только одинаковые полные степени всех высших членов.

В смысле?

[student1138]

Цитата:

Цитата:

student1138 в сообщении #1247586 писал(а):
Еще не понимаю почему рассматриваются только одинаковые полные степени всех высших членов.

В смысле?

Ну вот в примере из этой же книги берутся только одночлены у которых степени переменных соответственно 2,1,0 и 1,1,1:


То есть только одночлены полной степени равной 3. Но почему не рассматриваются одночлены других полных степеней, они же тоже могут быть лексикографически ниже чем исходный одночлен. Например: 1,1,0. Или даже 1,1,1,1,1

[Sinoid]

student1138 в сообщении #1247990 писал(а):

Ну вот в примере из этой же книги берутся только одночлены у которых степени переменных соответственно 2,1,0 и 1,1,1:
Изображение


То есть только одночлены полной степени равной 3. Но почему не рассматриваются одночлены других полных степеней, они же тоже могут быть лексикографически ниже чем исходный одночлен. Например: 1,1,0. Или даже 1,1,1,1,1

Конкретно в этом случае одночленов другой "полной степени" в симметрическом многочлене просто нет. Если же в многочлене присутствуют одночлены разных "полных степеней", то ввиду его симметричности для каждой полной степени в многочлене присутствует несколько (в общем случае) одночленов этой общей степени. Так вот эти одночлены просто группируешь и все. Хотя я таких заданий и не встречал.