Доказательство того, что gldim A = pdim_A^e A

[kp9r4d]

Есть ссылка на mathoverflow - https://mathoverflow.net/a/117611/54337 - где излагается доказательство факта $\operatorname{gldim} A = \operatorname{pdim}_{A^{en}} A$ где $A^{en} = A \otimes A$ и $A$ - это градуированная связная коммутативная $k$-алгебра у которой $A_0 = k$. Предположим даже, что $k$ алгебраически замкнутое поле.

Я никак не пойму, почему

1) $\operatorname{Ext}_{A^{en}}^n(A,k) \neq 0$
2) $\operatorname{Ext}^\bullet_{A^{en}}(A,\hom_k(k,k)) = \operatorname{Ext}^\bullet_A(k,k)$

где $n = \operatorname{pdim}_{A^{en}} A$. Во втором равенстве непонятно даже в каком оно смысле, ведь даже изоморфизм нулевых компонент $\operatorname{Hom}_{A^{en}}(A,\operatorname{hom}_k(k,k)) = \operatorname{Hom}_A(k,k)$ это модули над разными кольцами (просто как абелевых групп?).

Ощущение, что должно быть нечто простое, но уже потратил много времени а так и не придумал аргумента, почему эти два пункта верны.